Lindemann–Weierstrass-tétel

A Lindemann–Weierstrass tétel kimondja, hogy az Euler-féle szám, más néven az e szám transzcendens. A tétel bizonyítható az e szám irracionális voltának bizonyításához hasonló módon.

Az α valós szám erősen approximálható, ha minden ε>0-hoz van u és v egész szám, és egy |δ| < ε szám, hogy

Minden ilyen α valós szám irracionális. Fordítva ez az összefüggés nem teljesül, mivel az ilyen számok megszámlálhatóan sokan vannak.

A tétel bizonyítása szimultán approximálja az e számot és annak pozitív egész kitevős hatványait, az irracionalitás bizonyításához hasonló ellentmondásra jut az e szám minimálpolinomjával kapcsolatban.

A bizonyítás vázlataSzerkesztés

  • Feltesszük indirekt, hogy az e szám algebrai, és minimálpolinomját jelöljük t-vel:

 ,

ahol   és   egyike sem nulla, hiszen t irreducibilis.

  • Szimultán erősen approximáljuk az e szám hatványait, vagyis adott ε-hoz keresünk   egészeket, hogy

 

minden 1 ≤ km -re.

  • Az approximáció eredményét behelyettesítve

 

Átrendezve

 

  • Az így kapott összeg első tagja egész. Elég azt belátnunk, hogy a második tag abszolút értékben  -nél kisebb. Ellentmondás.

LemmákSzerkesztés

1. Minden k ≥ 0 egészhez vannak gk és hk polinomok, hogy

 
és
 .

2. Minden f(x) polinomhoz egyértelműen van egy u valós szám és egy g(x) polinom, hogy

 
minden valós r számra.

3. Legyen az f(x) polinom a következő:

 .
Jelölje ezután u és g(x) a 2. lemma szerint az ehhez az f(x)-hez tartozó u-t és g(x)-et! Legyen továbbá ur=g(r) és  !

Ezekkel a jelölésekkel ha átírjuk az f(x) polinomot (x-r) hatványai szerint:

 
akkor d0(r)=d1(r)=…=0.

4. (a) Az u szám egész, és nincs m-nél nagyobb prímosztója.

(b) Az u1, …, um egészek mind oszthatók p-vel.

5. A fent definiált f polinomra

 .

A tétel bizonyításaSzerkesztés

Feltesszük indirekt, hogy e algebrai, és minimálpolinomja

 .

A  

polinomhoz a 2. lemma szerint elkészítjük az u számot és a g polinomot. A 3. lemma miatt  , ahol p az f-hez használt prím, továbbá

 ,

ahonnan

 ,

ezzel kész a szimultán erős approximáció.

A minimálpolinomba visszahelyettesítve

 

Ha most p > m, akkor a 4. lemma szerint p nem lehet osztója az u egész számnak. Ha p még c0-nál is nagyobb, akkor c0u sem lehet osztható p-vel, így a c0u+c1u1+...+cmum egész számnak sem osztója, tehát ez az összeg nem lehet nulla. Az 5. lemma alapján az c1ε1+...+cmεm összeg abszolút értéke viszont 1/2-nél kisebb, ezért az összeg nem lehet nulla. Ellentmondás.

ForrásokSzerkesztés