Főmenü megnyitása
Egy lineáris egyenletrendszer, ahol a három egyenlet három síkot határoz meg. A metszéspont a megoldás.

A lineáris egyenletrendszer olyan többismeretlenes egyenletrendszer, ahol minden ismeretlen elsőfokon (azaz első hatványon) szerepel.

PéldaSzerkesztés

Egy m egyenletből álló és n ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletrendszer:

 

 

 

 

Itt az x-ek az ismeretlenek, az a-k az ismeretlenek együtthatói, és a b-k az egyenletek konstansai.

Vektoriális alakSzerkesztés

Az m darab egyenletet összevonhatjuk egy egyenletté, ha az együtthatók oszlopaiból m dimenziós vektorokat képzünk:

 

A feladat tehát úgy is értelmezhető, hogy a lineáris egyenletrendszer együtthatóiból álló oszlopvektorok olyan lineáris kombinációját keressük, amely a

  vektorral megegyezik.

Mátrixos alakSzerkesztés

A lineáris egyenletrendszer mátrixa egy olyan m×n-es mátrix, amely a lineáris egyenletrendszer együtthatóit tartalmazza. Az előbbi egyenletrendszer mátrixa:

 

Ha bevezetjük a   és az   jelöléseket, akkor a lineáris egyenletrendszer a következő rövid alakban írható fel:

 

Az A mátrix és az   vektor szorzata formálisan éppen a kívánt egyenleteket adja.

A lineáris egyenletrendszer kibővített mátrixaSzerkesztés

A lineáris egyenletrendszer kibővített mátrixa olyan m×(n+1)-es mátrix, amely a lineáris egyenletrendszer együtthatói mellett n+1-edik oszlopként az egyenletek konstansait is tartalmazza. Például az előző egyenletrendszer kibővített mátrixa:

 

MegoldásaSzerkesztés

A lineáris egyenletrendszerek megoldása a Gauss-eliminációval történik. Az

 

felírásból következik, hogy ha az A mátrix invertálható, akkor az egyenletrendszer megoldása

 

2×2-es esetbenSzerkesztés

Speciálisan az

 
 

lineáris egyenletrendszer megoldása a következő:

 

és

 

ahol a | | a determinánsképzés jele.

Határozatlan lineáris egyenletrendszerekSzerkesztés

Vannak esetek, amikor az adott egyenletrendszer a fent említett Cramer-szabály alkalmazásával sem megoldható, de más ügyeskedések is elégtelen próbálkozások lennének, mint például a Gauss-elimináció vagy akár a Sarrus-szabály. Ilyen egyenletrendszerek azok, melyekben az ismeretlenek száma meghaladja az egyenletek számát, de az ismeretlenek száma csak annyival több, hogy egyik ismeretlen a másik (többi) segítségével meghatározható legyen. Ezeket parciálisan határozatlan egyenletrendszereknek nevezzük. Ebben az esetben alkalmazzuk az elemi bázistranszformációs módszert.