Főmenü megnyitása

Lineáris leképezés

Egy lineáris leképezés (vagy lineáris operátor) a matematikában, közelebbről a lineáris algebrában, egy azonos test feletti vektorterek között ható művelettartó függvény (szakszóval vektortér-homomorfizmus). Egy operátor bemenete tehát vektor, kimenete pedig szintén vektor, az úgy nevezett képvektor. Lineáris tehát egy ilyen vektorhoz vektort rendelő leképezés, ha

  • két vektor összegének képe a két vektor képének összege, és
  • egy vektor számszorosának képe a vektor képének ugyanezen számszorosa.

Leggyakrabban a valós, a komplex vagy a kvaternió test feletti operátorokról van szó.

A geometria szempontjából a térbeli lineáris leképezések olyan affin leképezések, melyeknek van fixpontja. Algebrai szempontból a lineáris leképezés egy vektortér-homomorfizmus. A kategóriaelméletben a vektorterek kategóriájában az objektumok közti morfizmus. Az analízisben szintén vannak alkalmazásai, hiszen a Hilbert-terek közt ható függvények is lineáris operátorok.

DefiníciókSzerkesztés

Legyen V és U a   test feletti két vektortér. Az   leképezést lineárisnak nevezzük, ha minden v1 és v2V vektorra, illetve minden λ  elemre és vV vektorra egyszerre rendelkezik az alábbi két tulajdonsággal:

  • additivitás:  
  • homogenitás:  

A fenti definíció egyenértékű azzal, hogy   megtartja a lineáris kombinációképzést, azaz bármely n természetes szám esetén minden λ1, λ2, … , λn  -beli elemre és v1, v2, … , vnV vektorra:

 .

Ha V és U megegyezik, akkor lineáris transzformációról beszélünk.

Ha ki akarjuk hangsúlyozni (például az egyértelműség kedvéért), hogy   egy   feletti lineáris leképezés, akkor azt mondjuk, hogy az   leképezés  -lineáris. Különleges esetben ennek jelentősége lehet, például a  ,   konjugálás ugyan  -lineáris, de nem  -lineáris.

A   típusú lineáris leképezéseket (a vektortérből az alaptestbe mint egydimenziós vektortérbe képező lineáris leképezéseket) lineáris funkcionáloknak nevezzük. Például a duális tér elemei lineáris funkcionálok.

A lineáris leképezés rangja a képterének dimenziója, azaz

  módon definiált képtér esetén
 .

JelöléseSzerkesztés

Szokás az operátorokat írott betűvel jelölni, vagy kettővel aláhúzni, vagy cirkumflexet tenni fölé, vagy görög betűvel jelölni, vagy az argumentuma köré nem tenni zárójelet:

 ,  ,  ,  , ,  

FajtáiSzerkesztés

  • Monomorfizmus:   injektív lineáris homomorfizmus
  • Epimorfizmus:   szürjektív lineáris homomorfizmus
  • Izomorfizmus:   bijektív lineáris homomorfizmus
  • Endomorfizmus:   lineáris homomorfizmus
  • Automorfizmus:   bijektív lineáris homomorfizmus

TulajdonságaiSzerkesztés

  • Minden lineáris leképezés esetében az U-beli neutrális elem (ami vektorterek esetében a nullvektor) képe a V-beli neutrális elem, azaz ha  , akkor  . Ha U és V megegyezik, akkor a neutrális elem az adott lineáris transzformáció fixpontja.

MátrixreprezentációSzerkesztés

Véges dimenziós vektorterek közötti lineáris leképezések mátrixleképezésekkel reprezentálhatók, de a lineáris leképezéshez tartozó mátrix függ a vektortér általunk választott bázisától. A mátrixleképezés olyan függvény, amely egy rögzített A m×n-es mátrix mellett bármely v n-elemű vektorhoz az A·v m-elemű vektort rendeli.

Ugyanakkor lineáris leképezésekről akkor is beszélhetünk, amikor a leképezésnek nincs mátrixa (pl. végtelen dimenziós vektorterek esetében).

Előírhatósági tételSzerkesztés

Ha   és   két V   U véges dimenziós vektorterek között ható lineáris leképezés, (b1, b2, …, bn) bázis V-ben, és mindkét leképezés a bázis elemein ugyanazt veszik fel, azaz

 

akkor a két leképezés azonosan egyértelmű, azaz  .

Ez a lineáris leképezések előírhatósági tétele. Eszerint egy lineáris leképezést, ha n dimenziós térből képez egy véges térbe, a véges tér n darab vektora egyértelműen meghatározza.

Leképezés mátrixaSzerkesztés

Az előírhatósági tétel értelmében rögzített bázis (a kiindulási és az érkezési térben rögzített bázispár) esetén a lineáris leképezést egyértelműen meghatározza a V bázisát alkotó vektorok képeinek koordinátamátrixa, melyen a következő m×n-es mátrixot értjük:

 

ahol B = (b1, b2, …, bn) a V bázisa, C az U bázisa, a mátrix oszlopai pedig a B elemeinek   általi képvektorai mint m-elemű oszlopvektorok. Ha az U tér m-dimenziós, akkor a   mátrix összesen m   n darab (szám)adatot tartalmaz. Ha     típusú, akkor csak  -t szokás írni, ami a vektortér-dimenziók azonossága miatt egy négyzetes mátrix lesz. Ha pedig pusztán  -t írnak, akkor az azt jelenti, hogy a   n-dimenziós vektortér (például  ) bázisaként az   (ahol i = 1, 2, ... , n) vektorok alkotta természetes avagy sztenderd bázisról van szó, azaz a

 

vektorrendszerről.

A bázisok ilyetén jelölése mellett a képvektorok koordinátáit a következő egyszerű mátrixszorzással számíthatjuk ki:

 

Hasonló mátrixokSzerkesztés

Egy lineáris leképezéshez a vektorterek általunk választott különféle bázisai esetében más-más mátrix tartozik. Az azonos lineáris leképezéshez tartozó különféle mátrixok közötti algebrai kapcsolatot az alábbi tétel adja meg.

Definiáljuk először a hasonlóság tulajdonságát: egy A n×n-es négyzetes mátrix hasonló egy B mátrixhoz (jelölésben: AB), ha létezik olyan invertálható P mátrix, amelyre

 .

Bizonyítható állítások:

  • Két mátrix pontosan akkor hasonló, ha van két olyan bázis, amelyekben a mátrixok ugyanazon lineáris leképezéshez tartozó mátrixok.
  • A hasonló mátrixok karakterisztikus polinomjai megegyeznek, és emiatt sajátértékeik is azonosak.
  • Egy lineáris leképezés rangja megegyezik a bármely bázis választása esetén hozzá tartozó mátrix rangjával. Ebből következik, hogy hasonló mátrixok rangjai megegyeznek.

Lineáris leképezések tereSzerkesztés

Az azonos   test feletti, V-ből U-ba képező lineáris leképezések vektorteret alkotnak a pontonként összeadással és skalárszorzással. Ezt a vektorteret általában Hom(V, U)-val vagy Lin(V, U)-val jelölik, ahol a „Hom” rövidítés nyilván a vektortér-homomorfizmusra utal.

A Hom(V, V) vektortér elemei (azaz a V   V vektortér-automorfizmusok) ezen kívül egységelemes algebrát alkotnak a kompozíció műveletével mint szorzással.

A V   V lineáris bijekciók invertálhatóak is. A kompozícióval mint művelettel egy csoportot alkotnak, a V-feletti általános lineáris csoportot (GL(V)).

Operátorműveletek és mátrixműveletekSzerkesztés

A lineáris leképezésekkel végezendő műveletek véges dimenziós vektorterek és rögzített bázisok esetén megfeleltethetők mátrixokkal végzendő műveleteknek:

 
 
  • Összeadás
 
  • Skalárszorzás
 

ahol a [.] mindenütt az adott leképezés mátrixreprezentációját jelöli.

DimenziótételSzerkesztés

PéldákSzerkesztés

Síkbeli lineáris transzformációk és   felett a természetes bázishoz tartozó mátrixaik:

  • identitás
     
  • forgatás az origó körül
    • 90 fokkal az óramutató járásával ellentétes irányban:
       
    • tetszőleges θ szöggel az óramutató járásával ellentétes irányban:
       
  • tükrözés
    • az x-tengelyre:
       
    • az y-tengelyre:
       
  • kétszeres nagyítás:
     
  • vízszintes nyírás:
     
  • hiperbolikus forgatás:
     
  • merőleges vetítés az y-tengelyre:
     

Nem lineáris transzformáció:

  • eltolás (de előállítható eggyel magasabb dimenzióban lineáris leképezésként, fixpont helyett fixegyenessel)

ForrásokSzerkesztés