Egy lineáris leképezés (vagy lineáris operátor) a matematikában, közelebbről a lineáris algebrában, egy azonos test feletti vektorterek között ható művelettartó függvény (szakszóval vektortér-homomorfizmus). Egy operátor bemenete tehát vektor, kimenete pedig szintén vektor, az úgy nevezett képvektor. Lineáris tehát egy ilyen vektorhoz vektort rendelő leképezés, ha

  • két vektor összegének képe a két vektor képének összege, és
  • egy vektor számszorosának képe a vektor képének ugyanezen számszorosa.

Leggyakrabban a valós, a komplex test vagy a kvaterniók feletti operátorokról van szó.

A geometria szempontjából a térbeli lineáris leképezések olyan affin leképezések, melyeknek van fixpontja. Algebrai szempontból a lineáris leképezés egy vektortér-homomorfizmus. A kategóriaelméletben a vektorterek kategóriájában az objektumok közti morfizmus. Az analízisben szintén vannak alkalmazásai, hiszen a Hilbert-terek közt ható függvények is lineáris operátorok.

Definíciók szerkesztés

Legyen V és U a   test feletti két vektortér. Az   leképezést lineárisnak nevezzük, ha minden v1 és v2V vektorra, illetve minden λ  elemre és vV vektorra egyszerre rendelkezik az alábbi két tulajdonsággal:

  • additivitás:  
  • homogenitás:  

A fenti definíció egyenértékű azzal, hogy   megtartja a lineáris kombinációképzést, azaz bármely n természetes szám esetén minden λ1, λ2, … , λn  -beli elemre és v1, v2, … , vnV vektorra:

 .

Ha V és U megegyezik, akkor lineáris transzformációról beszélünk.

Ha ki akarjuk hangsúlyozni (például az egyértelműség kedvéért), hogy   egy   feletti lineáris leképezés, akkor azt mondjuk, hogy az   leképezés  -lineáris. Különleges esetben ennek jelentősége lehet, például a  ,   konjugálás ugyan  -lineáris, de nem  -lineáris.

A   típusú lineáris leképezéseket (a vektortérből az alaptestbe mint egydimenziós vektortérbe képező lineáris leképezéseket) lineáris funkcionáloknak nevezzük. Például a duális tér elemei lineáris funkcionálok.

A lineáris leképezés rangja a képterének dimenziója, azaz

  módon definiált képtér esetén
 .

Magyarázat szerkesztés

Egy leképezés lineáris, ha megőrzi a vektortér szerkezetét, vagyis az összeadást és a skalárral szorzást. Legyenek   vektorok a   vektortérben! Ekkor, ha  , akkor  , így az összegzés átvihető az értékkészletre:

 

A következtetés egyszerűsíthető, ha elvégezzük a   behelyettesítését az   összegbe:  . Hasonlóan írható le a skalárral szorzás is. Ez teljesül, hogyha   követi   és   kapcsolatát, vagyis   az értékkészletben is fennáll:

 

Elvégezve a   helyettesítését az   következménybe kapjuk, hogy  .

Jelölése szerkesztés

Szokás az operátorokat írott betűvel jelölni, vagy kettővel aláhúzni, vagy cirkumflexet tenni fölé, vagy görög betűvel jelölni, vagy az argumentuma köré nem tenni zárójelet:

 ,  ,  ,  , ,  

Fajtái szerkesztés

  • Monomorfizmus:   injektív lineáris homomorfizmus
  • Epimorfizmus:   szürjektív lineáris homomorfizmus
  • Izomorfizmus:   bijektív lineáris homomorfizmus
  • Endomorfizmus:   lineáris homomorfizmus
  • Automorfizmus:   bijektív lineáris homomorfizmus

Mag és kép szerkesztés

A mag és a kép lineáris leképezések szempontjából fontos vektorterek. Legyen   lineáris leképezés! Ekkor:

  • Az   kép az   szerinti képvektorok halmaza, azaz azokat és csak azokat a vektorokat tartalmazza, melyek előállnak, mint  , ahol  . Úgy is jelzik, mint  . Ez a halmaz a   altere. Úgy is nevezik, hogy   képtere.
  • A   mag azoknak a  -beli vektoroknak a halmaza, azaz azokat és csak azokat a vektorokat tartalmazza, melyek   nullvektorára képeződnek le. Ez a mag altér  -ben. Az   leképezés pontosan akkor injektív, ha csak a nullvektort tartalmazza. Úgy is nevezik, mint   magtere.

Tulajdonságai szerkesztés

  • Minden lineáris leképezés esetében az U-beli neutrális elem (ami vektorterek esetében a nullvektor) képe a V-beli neutrális elem, azaz ha  , akkor  . Ha U és V megegyezik, akkor a neutrális elem az adott lineáris transzformáció fixpontja.
  • Egy   lineáris leképezés esetén a mag és a kép kapcsolatát a homomorfiatétel írja le: a   faktortér izomorf a   képpel.

Mátrixreprezentáció szerkesztés

Véges dimenziós vektorterek közötti lineáris leképezések mátrixleképezésekkel reprezentálhatók, de a lineáris leképezéshez tartozó mátrix függ a vektortér általunk választott bázisától. A mátrixleképezés olyan függvény, amely egy rögzített A m×n-es mátrix mellett bármely v n-elemű vektorhoz az A·v m-elemű vektort rendeli.

Ugyanakkor lineáris leképezésekről akkor is beszélhetünk, amikor a leképezésnek nincs mátrixa (pl. végtelen dimenziós vektorterek esetében).

Előírhatósági tétel szerkesztés

Ha   és   két V   U véges dimenziós vektorterek között ható lineáris leképezés, (b1, b2, …, bn) bázis V-ben, és mindkét leképezés a bázis elemein ugyanazt veszik fel, azaz

 

akkor a két leképezés azonosan egyértelmű, azaz  .

Ez a lineáris leképezések előírhatósági tétele. Eszerint egy lineáris leképezést, ha n dimenziós térből képez egy véges térbe, a véges tér n darab vektora egyértelműen meghatározza.

Leképezés mátrixa szerkesztés

Az előírhatósági tétel értelmében rögzített bázis (a kiindulási és az érkezési térben rögzített bázispár) esetén a lineáris leképezést egyértelműen meghatározza a V bázisát alkotó vektorok képeinek koordinátamátrixa, melyen a következő m×n-es mátrixot értjük:

 

ahol B = (b1, b2, …, bn) a V bázisa, C az U bázisa, a mátrix oszlopai pedig a B elemeinek   általi képvektorai mint m-elemű oszlopvektorok. Ha az U tér m-dimenziós, akkor a   mátrix összesen m   n darab (szám)adatot tartalmaz. Ha     típusú, akkor csak  -t szokás írni, ami a vektortér-dimenziók azonossága miatt egy négyzetes mátrix lesz. Ha pedig pusztán  -t írnak, akkor az azt jelenti, hogy a   n-dimenziós vektortér (például  ) bázisaként az   (ahol i = 1, 2, ... , n) vektorok alkotta természetes avagy sztenderd bázisról van szó, azaz a

 

vektorrendszerről.

A bázisok ilyetén jelölése mellett a képvektorok koordinátáit a következő egyszerű mátrixszorzással számíthatjuk ki:

 

Hasonló mátrixok szerkesztés

Egy lineáris leképezéshez a vektorterek általunk választott különféle bázisai esetében más-más mátrix tartozik. Az azonos lineáris leképezéshez tartozó különféle mátrixok közötti algebrai kapcsolatot az alábbi tétel adja meg.

Definiáljuk először a hasonlóság tulajdonságát: egy A n×n-es négyzetes mátrix hasonló egy B mátrixhoz (jelölésben: AB), ha létezik olyan invertálható P mátrix, amelyre

 .

Bizonyítható állítások:

  • Két mátrix pontosan akkor hasonló, ha van két olyan bázis, amelyekben a mátrixok ugyanazon lineáris leképezéshez tartozó mátrixok.
  • A hasonló mátrixok karakterisztikus polinomjai megegyeznek, és emiatt sajátértékeik is azonosak.
  • Egy lineáris leképezés rangja megegyezik a bármely bázis választása esetén hozzá tartozó mátrix rangjával. Ebből következik, hogy hasonló mátrixok rangjai megegyeznek.

Lineáris leképezések tere szerkesztés

Az azonos   test feletti, V-ből U-ba képező lineáris leképezések vektorteret alkotnak a pontonként összeadással és skalárszorzással. Ezt a vektorteret általában Hom(V, U)-val vagy Lin(V, U)-val jelölik, ahol a „Hom” rövidítés nyilván a vektortér-homomorfizmusra utal.

A Hom(V, V) vektortér elemei (azaz a V   V vektortér-automorfizmusok) ezen kívül egységelemes algebrát alkotnak a kompozíció műveletével mint szorzással.

A V   V lineáris bijekciók invertálhatóak is. A kompozícióval mint művelettel egy csoportot alkotnak, a V-feletti általános lineáris csoportot (GL(V)).

Operátorműveletek és mátrixműveletek szerkesztés

A lineáris leképezésekkel végezendő műveletek véges dimenziós vektorterek és rögzített bázisok esetén megfeleltethetők mátrixokkal végzendő műveleteknek:

 
 
  • Összeadás
 
  • Skalárszorzás
 

ahol a [.] mindenütt az adott leképezés mátrixreprezentációját jelöli.

Dimenziótétel szerkesztés

A dimenziótétel kimondja, hogy a  -t  -be képező lineáris leképezés magjának és képének dimenziójának összege megegyezik

 

Példák szerkesztés

  esetén a lineáris leképezések alakja  , ahol  .

Ha   nyílt intervallum,   az   intervallumon folytonosan differenciálható valós értékű függvények vektortere, és   az   intervallumon folytonos valós értékű függvények tere! Ekkor
 ,  ,
vagyis a deriválás lineáris leképezés. Hasonlóak teljesülnek más lineáris differenciáloperátorokra.

Síkbeli lineáris transzformációk és   felett a természetes bázishoz tartozó mátrixaik:

  • identitás
     
  • forgatás az origó körül
    • 90 fokkal az óramutató járásával ellentétes irányban:
       
    • tetszőleges θ szöggel az óramutató járásával ellentétes irányban:
       
  • tükrözés
    • az x-tengelyre:
       
    • az y-tengelyre:
       
  • kétszeres nagyítás:
     
  • vízszintes nyírás:
     
  • hiperbolikus forgatás:
     
  • merőleges vetítés az x-tengelyre:  
  • merőleges vetítés az y-tengelyre:  

Nem lineáris transzformáció:

  • eltolás (de előállítható eggyel magasabb dimenzióban lineáris leképezésként, fixpont helyett fixegyenessel)

Véges terek közötti lineáris leképezések szerkesztés

Bázis szerkesztés

Egy lineáris leképezést egy bázis vektorainak képe egyértelműen meghatározza. Legyenek   bázis  -ben, és legyenek   vektorok  -ben! Ekkor pontosan egy   lineáris leképezés van, ami  -et  -re,  -t  -re, …,  -t  -re képéezi. Ha   tetszőleges vektor  -ben, akkor egyértelműen előáll a bázisvektorok lineáris kombinációjaként:

 

Itt   a   vektor koordinátái a   bázisban. Képvektora,   előáll, mint

 

Az   leképezés pontosan akkor injektív, ha a   vektorok lineárisan függetlenek. Pontosan akkor szürjektív, ha   generátorrendszer  -ben.

Ha a   minden eleméhez tetszőleges   vektorokat rendelünk  -ből, akkor a fenti képlettel egyértelműen kiterjeszthető lineáris leképezéssé.

Ha a   vektorok bázist alkotnak  -ben, akkor ezzel megalkotható a lineáris leképezés mátrixa a két bázisra vonatkozóan.

Mátrixábrázolás szerkesztés

Ha   és   véges dimenziós vektorterek,  ,  , és   bázisa  -nek, illetve   bázisa  -nek. Ekkor minden   lineáris leképezés ábrázolható  -es   mátrixként. Ez megkapható a következő módon:

A   bázis minden   bázisvektorához hozzárendelt   vektort előállítjuk a   bázisvektorok lineáris kombinációjaként:

 

Az  ,  ,   koordináták az   mátrix komponensei:

 

A  -edik oszlop tartalmazza   koordinátáit a   bázisban.

Ezzel a mátrixszal minden   vektor   képvektora kiszámítható:

 

Az   képvektor   koordinátáira vonatkozóan szintén teljesül  -re vonatkozóan, hogy  .

Ez kifejezhető mátrixszorzásként:

 

Az   mátrix az   leképezés mátrixa. Az   mátrix más írásmódjai:   és  .

Végtelen dimenziós vektorterek közötti leképezések szerkesztés

A funkcionális analízis keretében a végtelen dimenziós vektorterekben a lineáris leképezéseket lineáris operátoroknak nevezik. Többnyire teljes normált terek közötti leképezéseket vizsgálnak; ezek Banach-terek. Mivel a Baire-féle kategóriatétel szerint az efféle tereknek nincs megszámlálható bázisa, azért nem elég a leképezéseket egy bázison keresztül tanulmányozni. Hogy egyáltalán létezik valamilyen bázis, azt csak a kiválasztási axióma biztosítja. Ehelyett más bázisfogalmat használnak, mint az ortonormált bázis vagy az általánosabb Schauder-bázis. Így bizonyos operátorok, mint a Hilbert-Schmidt-operátorok ábrázolhatók végtelen mátrixokkal, és végtelen lineáris kombinációkkal.

A lineáris leképezések vektortere szerkesztés

Legyenek   és   a   test fölötti vektorterek! Ekkor használják a   vagy az   jelölést a   lineáris leképezéseinek  -be menő halmazára. Ez szintén vektortér a   test fölött, ami a  -ből  -be menő leképezések altere.

Ez azt jelenti, hogyha   és   lineáris leképezések, akkor összegük szintén lineáris leképezés:

 

és egy lineáris leképezés skalárszorosa is lineáris leképezés:

 

ahol  .

Ha   dimenziója  , és   dimenziója  , illetve adva van  -ben egy   bázis, és  -ben egy   bázis, akkor az

 

leképezés izomorfizmus a   mátrixtérben. Az   vektortér dimenziója  .

Speciálisan, ha  , akkor a lineáris leképezések egymás utáni elvégzéssel szorozhatók is, amivel asszociatív algebrát alkotnak, amelyet   jelöl.

Általánosítás szerkesztés

Egy lineáris leképezés egy speciális affin leképezés.

Ha test helyett gyűrű fölött vizsgálódunk, akkor modulhomomofizmust kapunk.

Források szerkesztés

Fordítás szerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Lineare Abbildung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.