Másodrendű számtani sorozat

A másodrendű számtani sorozatok olyan számsorozatok (vagy általánosabban: egy kvázicsoport elemeiből képezett olyan sorozatok), melyek maguk nem feltétlenül számtani sorozatok ugyan, de különbségsorozatuk már számtani sorozat.

Egy legalább három számból álló - akár véges, akár végtelen - sorozatot akkor nevezünk tehát másodrendű számtani sorozatnak, ha a szomszédos elemek különbségéből álló sorozat szomszédos elemeinek különbsége (a sorozatra jellemző) állandó. Azaz: a sorozat különbségsorozatának különbségsorozata (a sorozat ún. másodrendű különbségsorozata) konstans.

Egy egyszerű példa a négyzetszámok 1,4,9,16,25,36,… sorozata: az 1-hez 3-at kell hozzáadni, hogy a következő tagot, a négyet kapjuk, a négyhez viszont már ötöt, hogy a kilenc adódjon, a kilenchez már hetet, és általánosan: mindig kettővel többet; mint megelőzően. Nemcsak példák tömkelege igazolja, de szigorúan is bebizonyítható, hogy a másodrendű számtani sorozat a kontinuum felett értelmezett valós függvények elméletében definiálható „egyváltozós, legfeljebb másodfokú függvény” fogalmának diszkrét megfelelője.

Egyéb definíciókSzerkesztés

Egy lehetséges formális definícióSzerkesztés

A bevezető definíciónak megfelelően, egy (an) sorozat akkor és csak akkor másodrendű számtani sorozat, ha (Δ2an) számtani sorozat, azaz

(∃C∈R)(∀n∈N+): Δ2an := Δan+1an = C,

ahol (Δ2an) az (an) sorozat másodrendű különbségsorozata.

Rekurzív megadásSzerkesztés

A Különbségsorozat c. cikkben leírt Δan := an+1 - an képlet alkalmazásával bármely sorozat an+1=anan alakba írható. Felhasználva, hogy a Δan elsőrendű különbségsorozat egy számtani sorozat s így explicit képlete (n-edik tagja) Δan = Δa1+(n-1)D valamely D valós számmal, adódik


 

Tehát: az (an) sorozat pontosan akkor másodrendű számtani sorozat, ha vannak olyan A, B valós számok, hogy

 ,

vagy ami ezzel ekvivalens (minthogy (n-1)A+B = nA-A+B = nA+(B-A), írjunk B-A helyébe egyszerűen B-t):


 .

A(z elsőrendű) számtani sorozatokra vonatkozó analóg rekurzív képlet ettől annyiban különbözik, hogy abban nincs benne az nA tag.

Megjegyezzük, hogy szűkebb értelemben véve ez még nem rekurzív megadása a sorozatnak (ld. rekurzív sorozat), ugyanis nem találtunk olyan m-változós φ(x1,x2,…,xn):RR függvényt, amelyet a sorozat tetszőleges m-darab tagjára alkalmazhatnánk, és megkapnánk a következő tagot. Írjuk fel azonban egy másodrendű sorozat három egymást követő tagját a következőképp:

  • an;
  • an+1 = anan;
  • an+2 = an+1an+1 = an+1an+d = an+1+(an+1-an)+d = 2an+1-an+d.

Ebből következően egy másodrendű számtani sorozat n+2-edik tagját úgy kapjuk, hogy ez előző két tagot a

φ(x,y) := 2x-y+d

egyenletbe helyettesítjük (a megelőző tagot az x, azt azt megelőzőt pedig az y helyébe; a d valós szám persze a különbségsorozat differenciája):


 .

A φ itt kétváltozós függvény, tehát a másodrendű számtani sorozatok másodrendben rekurzív függvények. Ld. még minimális rekurziós rend.

Általános (n-edik) tagSzerkesztés

Az első tag függvényébenSzerkesztés

Ha az an másodrendű sorozat első tagja a1, a különbségsorozata első tagja Δa1 és a különbségsorozat differenciája D, akkor:

 

Ez a következő gondolatmenettel adódik: kiindulva az an = a1a1a2+ … +Δan-1, tömörebben   képletből,[1] amelyben a (Δan) számtani sorozat - differenciája legyen D - összege szerepel, és felhasználva a számtani sorozat összegképletét, adódik  .

Analitikus szemléletű definícióSzerkesztés

Tétel (és/vagy definíció): Egy (an) legalább háromtagú sorozat akkor és csak akkor másodrendű számtani sorozat, ha vannak olyan α, β, γ ∈R valós számok, hogy teljesüljön


 .

Ha az illető sorozat másodrendű számtani sorozat, akkor felhasználva az első tag függvényében az n-edik tagot megadó   képletet, ezt átalakítjuk az n változó hatványkitevőinek csökkenő sorrendje szerint rendezve:        
   , innen pedig világos, hogy a keresett az α, β, γ számok tényleg léteznek, mégpedig

 .

Fordítva, ha egy, az   képlettel megadható sorozat bármely öt egymást követő tagját felírjuk (feltéve, ha létezik ennyi tagja):

  • an = αn2+βn+γ
  • an+1 = α(n+1)2+β(n+1)+γ
  • an+2 = α(n+2)2+β(n+2)+γ
  • an+3 = α(n+3)2+β(n+3)+γ
  • an+4 = α(n+4)2+β(n+4)+γ

A megfelelő differenciák egyaránt:

  • Δan = an+1 - an = α2n+α+β
  • Δan+1 = an+2 - an+1 = α2n+3α+β
  • Δan+2 = an+3 - an+2 = α2n+5α+β
  • Δan+3 = an+4 - an+3 = α2n+7α+β

A megfelelő második (másodrendű) differenciák:

  • ΔΔan = Δan+1 - Δan = (α2n+3α+β)-(α2n+α+β) = 2α
  • ΔΔan+1 = Δan+2 - Δan+1 = (α2n+5α+β)-(α2n+3α+β) = 2α
  • ΔΔan+2 = Δan+3 - Δan+2 = (α2n+7α+β)-(α2n+5α+β) = 2α

Ez pedig egy konstans sorozat, tehát a differenciák differenciája állandó, ezért a differenciák sorozata számtani sorozat, tehát (an) egy másodrendű számtani sorozat.

(Megjegyzés: ha a sorozatnak nincs legalább öt tagja, a különbségsorozatos definíció értelmetlen rá. Ez esetben a fenti analitikus definíció a másodrendű számtani sorozat fogalom kézenfekvő kiterjesztésének tekinthető).

PéldákSzerkesztés

Elfajult esetekSzerkesztés

Igen egyszerű (sőt, elfajult) példa, ha a különbségsorozat a konstans 0 sorozat, az első elem pedig 0. Ekkor a konstans 0 sorozatot kapjuk. Általában, ha a különbségsorozat konstans (mondjuk (d, d, … )), akkor az itt leírt an+1=an+Δan képlet alkalmazásával beláthatóan, elsőrendű számtani sorozatot kapunk, hiszen ekkor an+1=an+d. Egy másodrendű számtani sorozat ezért akkor és csak akkor (elsőrendű) számtani sorozat, ha különbségsorozata konstans (hogy csak akkor számtani, az a számtani sorozat definíciójából adódik, hogy akkor számtani, az pedig az említett képlet alkalmazásával adódott).

További példákSzerkesztés

első tag különbség a sorozat pár tagja n-edik tag
(n ∈N+)
1 0 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, … 1
1 2 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, … 2n-1
0 n 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, …  
2 n 2, 3, 5, 8, 12, 17, 23, …  
0 n+1 0, 2, 5, 9, 14, 20, 27, …  
0 2n 0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, …  
1 2n 1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, …  
0 2n+1 0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, …  
1 2n+1 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, …  

További tulajdonságokSzerkesztés

ÖsszegképletSzerkesztés

A másodrendű számtani sorozatok összegzését megnehezíti, hogy az összegsorozat magasabbrendű, nevezetesen harmadrendű számtani sorozat. Az analitikus szemléletű definíció c. szakaszban levezetett   képlet alapján viszont, felhasználva a szakirodalomban ismert, a négyzetszámok összegzését megadó képletet és a háromszögszám-képletet:            
                 
     
    .

Minimális rekurziós rendSzerkesztés

A Rekurzív megadás c. szakaszban foglaltak szerint a másodrendű számtani sorozatok másodrendben rekurzívak. Még ha nem is számtani sorozatról van szó (amelyek minimális rekurziós rendje 1), hanem olyan másodrendű számtani sorozatról, amelynek különbségsorozata nem állandó - nevezzük ezeket valódi másodrendű számtani sorozatnak - még ezekhez is létezhet a másodrendű rekurziónál egyszerűbb, elsőrendű rekurzió. Egy példa:

Tétel: Azon csak nemnegatív elemeket tartalmazó másodrendű számtani sorozatok, melyek f(n)=αx2+βx+γ "generálófüggvénye" a nemnegatív valós számok halmazára szorítkozva invertálható;[2] elsőrendben is rekurzívak, azaz minimális rekurziós rendjük 1.

Bizonyítás: Tekintsük az analitikus szemléletű definíció c. szakaszban levezetett   képletet! Mármost az (a1) sorozat akkor és csak akkor elsőrendben rekurzív, ha van olyan φ(x); RR egyváltozós valós függvény, amelyre bármely n>0 index esetén an+1 = φ(an). Eszerint a φ(x) függvény minimum az X := {an|n∈N+} = {αn2+βn+γ|n∈N+}⊆R halmazon értelmezve kell, hogy legyen, és ennek n-edik eleméhez az n+1-edik elemét kell rendelnie. Legyen f(x) := αx2+βx+γ a sorozatnak képlete által megadott valós függvény. Ekkor ha m∈N+ tetszőleges index, és x = an = f(n)∈X, akkor φ(x) = φ(an) = φ(f(n)) = an+1= f(n+1). Azaz egy olyan függvényegyenlethez jutottunk, amely szerint:

φ(f(n))= f(n+1)

bármely n>0 természetes számra (f egy rögzített, az illető másodrendű számtani sorozatra jellemző, legfeljebb másodfokú függvény). Legyen most f* = f|R+−1, azaz az f pozitív valós számokra való leszűkítésének inverz függvénye (feltevésünk szerint ez létezik, s már említettük, hogy a példák közt vannak olyan valódi másodrendű számtani sorozatok, amelyek valóban invertálhatóak e módon). Akkor, ha f(n)=x, akkor (véve mindkét oldal inverzét) n=f*(f(n))=f*(x), tehát f(n+1)=f(f*(x)+1), azaz:

φ(x)= f(f*(x)+1)

Ezzel megkaptuk a φ függvény képletét, és ezzel egy elsőrendű rekurziót. Például ha an=n2, akkor  , és valóban például 4=φ(1)=1+2+1, 9=φ(4)=4+2√(4)+1=4+4+1; 16=φ(9)=9+2√9+1=9+6+1 stb.

Lineáris algebrai leírásSzerkesztés

Az analitikus szemléletű definíció c. szakaszban levezetett   képlet alapján kimondható, hogy a valós számsorozatok (RN+,+, · (0)) lineáris terén (+ a sorozatok tagonkénti összeadásának, · a számmal való tagonkénti szorzásának művelete) belül a másodrendű számtani sorozatok egy generált alteret alkotnak, a generáló vektorok pedig az (1), az (n) és az (n2) sorozatok. Ennek az altérnek a dimenziója - a generáló elemek függetlensége miatt - 3.[3]


HivatkozásokSzerkesztés

Lásd mégSzerkesztés

ForrásokSzerkesztés

  1. Ld. a Különbségsorozat/Rekurzív jellegű általános összefüggések c. cikket.
  2. A példáink közt sok ilyen van, például az   , vagy a   , és persze a h(n) = n2-é h-1=√n
  3. A generáló elemek valóban lineárisan függetlenek, hiszen az (1) és (n) vektorok függetlenek, mert különben lennének u,v nem nulla számok, hogy u(1)+v(n)=(0), azaz minden n>0-ra n=-v/u, ami nyilvánvaló képtelenség; ebből következően ha hozzávesszük a két vektorhoz az (n2) vektort, az így kapott rendszer is független lesz, mert ha nem lenne, egy tétel miatt (n2) előállna az előző két vektor nemnulla együtthatós lineáris kombinációjaként, azaz léteznének p,q≠0 valós számok úgy, hogy minden n-re p+qn=n2, ami egyenértékű azzal, hogy tetszőleges n-re megoldható lenne a 0=n2-qn+p másodfokú egyenlet. Ennek megoldása (még ha valójában meg is oldható az egyenlet, ami nem biztos) n=(q±√q2-4p)/2 lenne; ami szintén nyilvánvaló képtelenség, hiszen így bármely két pozitív egész szám egyenlő lenne.