Főmenü megnyitása

A mérhető számosság a halmazelmélet egyik legfontosabb fogalma, a legegyszerűbb nagyszámosság-axióma.

Tartalomjegyzék

DefiníciójaSzerkesztés

A legegyszerűbb definícióSzerkesztés

Egy megszámlálhatónál nagyobb   számosság mérhető, ha egy   számosságú S halmaz összes részhalmazán van olyan   függvény, hogy

  • minden  -re   vagy 1;
  •   minden  -re,  ;
  • ( -additivitás) ha   és   páronként diszjunkt részhalmazai S-nek, akkor  -ra
 

teljesül.

A szokásos definícióSzerkesztés

A   számosság mérhető, ha  -n van  -teljes, normális, nemfő ultraszűrő.

Ekvivalens definícióSzerkesztés

Van olyan   elemi beágyazás, ahol M tranzitív osztály és j kritikus pontja  , azaz  , de   minden  -ra.

A mérhető számosságok tulajdonságaiSzerkesztés

Minden mérhető számosság erősen elérhetetlen. Hosszú ideig sejtés volt, hogy ez megfordítva is igaz, tehát hogy minden erősen elérhetetlen számosság mérhető. Végül Tarski, felhasználva tanítványa, Hanf eredményeit, megcáfolta. Tétele szerint, ha   mérhető számosság, akkor   darab olyan  -nál kisebb számosság van, ami erősen elérhetetlen, sőt ezek halmaza  -ban stacionárius, tehát   Mahlo. Ezért például a legkisebb erősen elérhetetlen számosság biztosan nem mérhető.