Mérhető számosság
Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye. |
A mérhető számosság a halmazelmélet egyik legfontosabb fogalma, a legegyszerűbb nagyszámosság-axióma.
Definíciója
szerkesztésA legegyszerűbb definíció
szerkesztésEgy megszámlálhatónál nagyobb számosság mérhető, ha egy számosságú S halmaz összes részhalmazán van olyan függvény, hogy
- minden -re vagy 1;
- minden -re, ;
- ( -additivitás) ha és páronként diszjunkt részhalmazai S-nek, akkor -ra
teljesül.
A szokásos definíció
szerkesztésA számosság mérhető, ha -n van -teljes, normális, nemfő ultraszűrő.
Ekvivalens definíció
szerkesztésVan olyan elemi beágyazás, ahol M tranzitív osztály és j kritikus pontja , azaz , de minden -ra.
A mérhető számosságok tulajdonságai
szerkesztésMinden mérhető számosság erősen elérhetetlen. Hosszú ideig sejtés volt, hogy ez megfordítva is igaz, tehát hogy minden erősen elérhetetlen számosság mérhető. Végül Tarski, felhasználva tanítványa, Hanf eredményeit, megcáfolta. Tétele szerint, ha mérhető számosság, akkor darab olyan -nál kisebb számosság van, ami erősen elérhetetlen, sőt ezek halmaza -ban stacionárius, tehát Mahlo. Ezért például a legkisebb erősen elérhetetlen számosság biztosan nem mérhető.