Főmenü megnyitása

A mérték egy függvény, ami egy adott halmaz részhalmazaihoz egy számot rendel. A mindennapi életben például ilyen mérték lehet a hossz, a terület, a térfogat vagy a valószínűség.

A mérték az integrál fogalmát általánosítja.

A mértékelmélet a valós analízis egyik ága, amely a halmazok mérhetőségével foglalkozik. Fontos szerepet tölt be a valószínűségszámításban és a statisztikában.

Tartalomjegyzék

Formális definícióSzerkesztés

A mérték egy   függvény, ahol   egy X halmaz feletti σ-algebra, ami kielégíti az alábbi feltételeket:

 
 

Az   hármast nevezik mértéktérnek, és   elemeit pedig mérhető halmazoknak.

TulajdonságokSzerkesztés

MonotonitásSzerkesztés

μ monoton, vagyis ha E1 és E2 mérhető halmazok, és E1E2, akkor μ(E1) ≤ μ(E2).

Végtelen sok mérhető halmaz uniójának mértékeSzerkesztés

Ha E1, E2, E3, … egy megszámlálható halmazsorozat Σ-ban, akkor

 .

Ha E1, E2, E3, … mérhető halmazok és En részhalmaza En+1-nek minden n-re, akkor az Ei halmazok uniója is mérhető, és

 .

Végtelen sok mérhető halmaz metszetének mértékeSzerkesztés

Ha E1, E2, E3, … mérhető halmazok és minden n-re En+1 részhalmaza En-nek, akkor az En halmazok metszete is mérhető; illetve, ha legalább egy En halmaz mértéke véges, akkor

 .

Ez a tulajdonság nem teljesül, ha nem tesszük fel, hogy legalább egy halmaz mértéke véges, ugyanis legyen minden nN esetén

 

Ekkor minden halmaz végtelen mértékű, de a metszetük üres.

PéldákSzerkesztés

ForrásokSzerkesztés