Maradékos osztás

matematikai művelet

A maradékos osztás egy matematikai művelet.

Az egész számok körében az osztás nem mindig végezhető el. Ha elvégezhető, akkor az a egész osztható a b egésszel. Ha az a egész nem osztható a b egésszel, akkor az egész számok körében maradék képződik; az osztás nem fejezhető be. A maradékos osztás, más néven bennfoglalás eredménye nemcsak a hányados, hanem a maradék is.

Bármely két pozitív egész szám közül a nagyobbikat el tudjuk osztani a kisebbel úgy, hogy az osztási maradék kevesebb legyen, mint a kisebbik szám.

Formális leírása szerkesztés

Tetszőleges a és b ≠ 0 egész számokhoz léteznek olyan egyértelműen meghatározott q és r egész számok, melyekre

 

és 0 ≤ r < |b|[1]

Itt q-t a és b hányadosának, r-t pedig az osztás maradékának nevezzük. Magának az eljárásnak, amelynek során a és b alapján q-t és r-et meghatározzuk, a-nak b-vel való maradékos osztása a neve.

Az egyértelműség bizonyítása szerkesztés

Indirekt módon bizonyíthatunk. Tegyük fel, hogy valamely a és b számokra nem teljesül, azaz találunk   számokat, amikre

  és
 

teljesül egyszerre. A két egyenlet különbségét véve kapjuk, hogy

 

Átrendezve:

 .

Mivel pedig a maradékok kisebbek, mint b, a különbségüknek csak akkor lehet osztója, ha az nulla, így  . Így pedig kapjuk, hogy a hányadosok különbsége is nulla, azaz  .

Geometriai értelmezése szerkesztés

Ha adott egy   és egy   hosszúságú szakasz, akkor a maradékos osztás hányadosa az a szám, ahányszor a kisebbik szakasz a nagyobbikra felmérhető, míg a maradék a fennmaradó szakasz hosszát adja eredményül. Vegyük észre, hogy ez az értelmezés némileg szélesebb körű definíciót tesz lehetővé, mivel így a maradékos osztást a valós számokra is ki tudjuk terjeszteni. Tulajdonképpen ebből az értelmezésből vezette le Euklidész a róla elnevezett algoritmust, illetve a szakaszok összemérhetőségének fogalmát.

Euklideszi gyűrűk szerkesztés

A fogalom általánosításával definiálható az euklideszi gyűrűk fogalma is: ha egy gyűrűben van egy norma, amire igaz, hogy minden elempár esetén a pár egyik tagját a másik tag egy gyűrűbeli elemmel való szorzatának és egy, a másik tagnál kisebb normájú elemnek az összegeként kaphatjuk meg. Röviden:

 

További információk szerkesztés

Források szerkesztés

  1. Freud Róbert, Gyarmati Edit Számelmélet. Nemzeti Tankönyvkiadó 2000, 2006.