Maximum likelihood módszer

A maximum likelihood módszer (magyarul: legnagyobb valószínűség) a matematikai statisztika egyik leggyakrabban használt becslési eljárása mérési eredmények, minták kiértékelésére.

A maximum likelihood módszer célja, hogy adott mérési értékekhez az ismeretlen paramétereknek olyan becslését adja meg, amely mellett az adott érték a legnagyobb valószínűséggel következik be. Az eljárás a likelihoodfüggvény maximalizálásával történik.

Definíció szerkesztés

A maximum likelihood becslés azokban az esetekben használatos, amikor az egyes mérési eredmények olyan véletlen eseményekként interpretálhatóak, amelyek egy vagy több ismeretlen paramétertől függenek. Mivel a vizsgált értékek kizárólagosan az ismeretlen paraméter(ek)től függenek, előállíthatók ezen paraméter vagy paraméterek függvényeként. A mérést, becslést végző kutató ezt a paramétert határozza meg, így maximalizálja a mért minta által követett valószínűséget.

A maximum likelihood módszer egy   valószínűségi változóból indul ki, amelynek a sűrűség- vagy tömegfüggvénye   és   paramétertől függ.

Véletlenszerű mintavételezéskor,   független és azonos feltételek között végzett mintavétel esetén, a sűrűség- vagy tömegfüggvény a következő formula szerint faktorizálható:

 

Amíg rögzített   paraméter esetén a sűrűségfüggvény tetszőleges   értékkel határozható meg, fordítva járunk el, és rögzített   értékekre a sűrűségfüggvényt mint a   paraméter függvényét tekintjük. Ezt nevezzük likelihoodfüggvénynek:

 

A becslés a likelihoodfüggvény maximumának a megkeresése, azaz egy szélsőérték-feladat. A számítások egyszerűsítése céljából a gyakorlatban nem az eredeti likelihood-függvényt használjuk, hanem annak a természetes alapú logaritmusát. Mivel a   függvény szigorúan monoton növekvő függvény, a szélsőérték helye nem változik, és egy összeggel egyszerűbb számolni, mint egy szorzattal. Ezt a függvényt gyakran nevezik loglikelihoodfüggvénynek:

 

Példa szerkesztés

A normális eloszlás   sűrűségfüggvénye   várhatóértékkel és   szórásnégyzettel a következő:

 

Tekintsük az   független mérési eredményeket, amelyek a feltételezés szerint ismeretlen   várhatóértékkel és   ismeretlen szórásnégyzettel   normális eloszlást követnek. A következő likelihoodfüggvénnyel kell számolnunk:  .

 

a loglikelihoodfüggvény pedig:

 

Források szerkesztés