Főmenü megnyitása

Megoldóképlet

A megoldóképlet az n-edfokú

algebrai egyenlet megoldásait (gyökeit) szolgáltató algoritmus, mely véges sok lépésben véget érő és csak az algebrai műveleteket (a négy alapműveletet és a gyökvonást) használja.

Iteratív megoldások, melyek a gyököket tetszőleges pontossággal megközelítik nem tekintendők „megoldóképletnek”. A gyakorlatban sokszor kielégítő a közelítő megoldás. Ilyen közelítő megoldások régóta ismeretesek (például Al-Kásié (?-1429) vagy a Bernoulli–Lobacsevszkij–Graeffe-féle gyökhatványozó eljárás.

Először Carl Friedrich Gauss (1777-1855) bizonyította szabatosan az algebra alaptételét, mely szerint az n-edfokú egyenletnek pontosan n megoldása van. A megoldások nem feltétlenül mind valósak. Az n-edfokú egyenlet általában csak a komplex számkörben oldható meg.

MegoldóképletekSzerkesztés

Elsőfokú egyenletSzerkesztés

Az   alakú elsőfokú egyenlet esetében

az   megoldóképlet adja meg a megoldást.

Másodfokú egyenletSzerkesztés

Az   alakú másodfokú egyenlet megoldóképlete:

 .

A másodfokú egyenlet diszkriminánsa:  

A másodfokú egyenlet megoldóképletét először, a mai alakhoz hasonló egységes formában (a felesleges, együtthatókkal kapcsolatos esetszétválasztások nélkül) Michael Stifel (1487-1567) írta fel, bár a mainál sokkal esetlenebb jelölésekkel.

Harmadfokú egyenletSzerkesztés

 

A harmadfokú esetre elméletben legalábbis a Girolamo Cardano (1501-1576) nevét viselő úgynevezett Cardano-képlet használható. A Cardano képlet a következő:

   

A harmadfokú egyenlet valós megoldásait a megoldóképlettel csak úgy találhatjuk meg, ha a számítás során kilépünk a valós számkörből és, ha csak átmenetileg is, de belépünk a komplex számok világába. A harmadfokú egyenlet megoldásának ennélfogva igen nagy a tudománytörténeti jelentősége.

Negyedfokú egyenletSzerkesztés

A negyedfokú esetre a megoldóképlet Cardano tanítványától, Ludovico Ferraritól származik. Az ő módszere a teljes négyzetté alakítás volt. Egy évszázad múlva René Descartes Értekezés a módszerről című művében közölt zárt képletének alapja két másodfokú polinom szorzata volt, ahol a két elsőfokú tag egymás inverze volt ( ti. így kiesik a harmadfokú tag).

A negyedfokú egyenlet megoldóképlete csak egy érdektelen részlet a matematikatörténetben a harmad- és az ötödfokú egyenlet megoldóképletéhez képest.

Ötöd- vagy magasabb fokú egyenletekSzerkesztés

Niels Henrik Abel (1802-1829) bebizonyította, hogy az ötödfokú esetben nem található megoldóképlet. Ez nem azt jelenti, hogy nincs megoldás, hanem, hogy nincs olyan véges lépés után véget érő számítási eljárás, amely csak a négy algebrai műveletet továbbá a gyökvonást használja és általános módszert szolgáltatna a gyökök megkeresésére (azaz minden egyenlet esetén ugyanazzal az eljárással előállíthatnánk a gyököket). Később Évariste Galois (1811-1832) megmutatta, hogy az ötnél magasabb fokú esetekben sem létezik megoldóképlet.

ForrásokSzerkesztés

  • Sain Márton: „Matematikatörténeti ABC”, Tankönyvkiadó, 1978.
  • „Nincs királyi út”, Gondolat, 1986.

További információkSzerkesztés