Mellin-transzformáció

a matematikai analízis egyik módszere

Az analízisben a Mellin-transzformáció egy Fourier-transzformációval rokon integráltranszformáció, amit a finn Hjalmar Mellin után neveztek el. A kétoldali Laplace-transzformáció multiplikatív verziója. Közeli kapcsolatban áll a Dirichlet-sorokkal. Gyakran használják a számelméletben, a statisztikában és az aszimptotikus kifejtések elméletében. Kapcsolódik a Fourier- és a Laplace-transzformációhoz, a gamma-függvényhez és a hozzá kapcsolódó speciális függvényekhez.

A Fourier- és a Laplace-transzformációkkal szemben a Mellin-transzformációt nem fizikai, hanem matematikai problémák megoldására fejlesztették ki. Először Bernhard Riemann-nál található meg, aki a zéta-függvényének vizsgálatához használta. A transzformáció, valamint inverzének megfogalmazását és rendszeres vizsgálatát R. Hjalmar Mellin kezdte meg. A speciális függvények elméletének keretében módszereket fejlesztett ki a hipergeometrikus differenciálegyenletek megoldására és az aszimptotikus sorfejlesztésre.

DefinícióSzerkesztés

Egy, a pozitív valós számokon definiált   függvény Mellin-transzformáltja:

 

a komplex s számokra, ahol az integrál konvergál. Az irodalomban a   tényezővel megszorzott Mellin-transzformáltat is használják, így

 

ahol   a gamma-függvény.

Inverz transzformációSzerkesztés

Az inverz transzformáció a komplex sík függőleges egyenesei mentén integrál:

 

ahol   f Mellin-transzformáltja, és  .

Az inverz transzformáció feltételei:

  • Az   integrál abszolút konvergens az   csíkokban
  •   analitikus az   csíkokban
  • Az   kifejezés nullához tart, ha  , és c egyenletesen tart 0-hoz
  • Az   függvény szakaszonként folytonos a pozitív valós tengely mentén, ahol a szakadási helyeken a kétoldali határérték számtani közepét kell venni (lépcsős függvény)

Kapcsolat a többi transzformációvalSzerkesztés

A Mellin-transzformáció közvetlenül kapcsolódik a Forurier-transzformációhoz. Ugyanis elvégezve az   helyettesítést   lesz, és   Fourier-transzformáltja  , akkor

 .

Megfordítva, : 

A kétoldali Laplace-transzformáció definíciója a Mellin-transzformációval:

 

és megfordítva, a Mellin-transzformáció kifejezhető a kétoldali Laplace-transzformációval:

 

A Mellin-transzformáció értelmezhető egy xs magfüggvény a multiplikatív Haar-függvény   szerint, ami invariáns a   dilatációra, így  .

A kétoldali Laplace-transzformáció a   additív Haar-mérték szerint transzlációinvariáns, azaz  .

A Mellin-transzformáció összekapcsolja a Newton-sorokat vagy a binomiális transzformációt a Poisson-generátorfüggvénnyel, a Poisson–Mellin–Newton-ciklus által.

PéldákSzerkesztés

Dirichlet-sorSzerkesztés

A Mellin-transzformációval egy   Dirichlet-sor és egy   hatványsor kapcsolatba hozható egymással. Legyenek

  és  

ugyanazokkal az   együtthatókkal. Ekkor

 .

Ha itt minden  , akkor   a Riemann-féle zéta-függvény, és kapjuk a következőt:

 .

Cahen–Mellin-integrálSzerkesztés

Ha  ,   és   a főágból, akkor

 

ahol  a gamma-függvény. Ez az integrál ismert, mint Cahen-Mellin-integrál.[1]

SzámelméletSzerkesztés

A Mellin-transzformáció egy érdekes számelméleti alkalmazása az

 

függvényhez kapcsolódik, amire

 

feltéve, hogy  

Izometria L2-terekbenSzerkesztés

A Hilbert-terek elméletében a Mellin-transzformációt másként vezetik be. Az  -tér függvényei esetén a fundamentális sávhoz mindig hozzátartozik  , így   definíciója

 

azaz

 

Ezt az operátort gyakran csak mint   jelölik, és Mellin-transzformációnak nevezik, de cikkünkben megkülönböztetésként az   jelölést használjuk a továbbiakban. A Mellin-inverzió tétele szerint   invertálható, és inverze

 

Továbbá ez az operátor izometria, vagyis   minden  -re. Emiatt szerepel a képletben az   tényező.

A valószínűségszámításbanSzerkesztés

A valószínűségszámításban a Mellin-transzformáció fontos eszköz a véletlen valószínűségi változók szorzatának eloszlásának vizsgálatához.[2] Ha X véletlen valószínűségi változó, és pozitív része X+ = max{X,0}, negatív része X − = max{−X,0}, akkor Mellin-transzformáltja[3]

 

ahol γ a γ2 = 1 formális határozatlanja. Ez a transzformáció létezik minden komplex s-re egy D = {s: a ≤ Re(s) ≤ b} sávban, ahol a ≤ 0 ≤ b.[3]

Az   Mellin-transzformált meghatározza a kiindulási X valószínűségi változó FX eloszlásfüggvényét.[3] Kellemes a Mellin-transzformációnak az a tulajdonsága is, hogy ha X és Y független valószínűségi változók, akkor Mellin-transzformáltjaik összeszorzódnak:

 

Laplace-transzformáció hengerkoordináta-rendszerbenSzerkesztés

A Laplace-transzformáció hengeres koordináta-rendszerben így néz ki:

 

Két dimenzióban például

 

és három dimenzióban

 

Mellin-transzformációval ez a kifejezés egyszerűbben kezelhető,[4] mivel:

 

Például a két dimenziós Laplace-egyenlet poláris koordináta-rendszerben:

 

beszorozva

 

sugármenti Mellin-transzformációval egyszerű harmonikus oszcillátorrá válik:

 

aminek általános megoldása:

 

Most vegyük figyelembe a peremfeltételt:

 

partikulárisan egyszerűsíti a Mellin-transzformáció:

 .

Ezzel partikularizáljuk a megoldást:

 

A Mellin-transzformáció konvolúciótételével visszatérünk az eredeti feladathoz:

 

ahol az inverz transzformáció

 

ahol  .

AlkalmazásokSzerkesztés

A számítástudományban elterjedten használják algoritmusok elemzésére skálainvarianciája miatt. Egy skálázott függvény Mellin-transzformáltja ugyanolyan méretű, mint az eredeti függvény. Ez analóg a Fourier-transzformáció eltolásinvarianciájával. Az időben eltolt függvény Fourier-transzformáltja ugyanolyan méretű, mint az eredetié.

Ez a tulajdonság hasznos a képfelismerésben. A kamera felé közelítő és attól távolodó kép közelítően skálázódik.

ForrásokSzerkesztés

  • M. Koecher, A. Krieg, Elliptische Funktionen und Modulformen, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1998, ISBN 3-540-63744-3.
  • E. C. Titchmarsh, Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Chelsea Publishing Company, 3. Auflage 1986, ISBN 978-0828403245.
  • D. Zagier, Zetafunktionen und quadratische Körper, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1981, ISBN 3-540-10603-0.

JegyzetekSzerkesztés

  1. Hardy, G. H. (1916). „Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes”. Acta Mathematica 41 (1), 119–196. o. DOI:10.1007/BF02422942.   (See notes therein for further references to Cahen's and Mellin's work, including Cahen's thesis.)
  2. (Galambos & Simonelli 2004, p. 15)
  3. a b c (Galambos & Simonelli 2004, p. 16)
  4. Bhimsen, Shivamoggi, Chapter 6: The Mellin Transform, par. 4.3: Distribution of a Potential in a Wedge, p. 267-8

FordításSzerkesztés

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Mellin-Transformation című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Mellin transform című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.