Legyen A affin tér a valós V eltolásvektortérrel ! Ekkor g metrikus tenzor A fölött, ha A -t a V fölötti skalárszorzatok terébe képezi, azaz minden
P
∈
A
{\displaystyle P\in A}
g
(
P
)
:
V
×
V
→
R
{\displaystyle g(P):V\times V\to \mathbb {R} }
szimmetrikus , pozitív definit bilineáris forma.
A metrika és a pszeudometrika analógiájára néha megengedik, hogy egyes pontokban, vagy mindenütt pozitív szemidefinit legyen. Ezzel pszeudometrikus tenzorokhoz jutnak.
Vagyis a pozitív definitség követelménye:
g
(
P
)
(
x
→
,
x
→
)
>
0
{\displaystyle g(P)\left({\vec {x}},\,{\vec {x}}\right)>0}
0
≠
x
→
∈
V
{\displaystyle 0\neq {\vec {x}}\in V}
helyett megelégszenek a pozitív szemidefinitség követelményével:
g
(
P
)
(
x
→
,
x
→
)
≥
0
{\displaystyle g(P)\left({\vec {x}},\,{\vec {x}}\right)\geq 0}
x
→
∈
V
{\displaystyle {\vec {x}}\in V}
A metrikus tenzor egy
P
∈
A
{\displaystyle P\in A}
V vektorok terén:
‖
x
→
‖
P
=
g
(
P
)
(
x
→
,
x
→
)
{\displaystyle \|{\vec {x}}\|_{P}={\sqrt {g(P)\left({\vec {x}},\,{\vec {x}}\right)}}}
Az euklideszi skalárszorzathoz hasonlóan a
x
→
,
y
→
∈
V
{\displaystyle {\vec {x}},{\vec {y}}\in V}
ϑ
∈
[
0
,
π
]
{\displaystyle \vartheta \in [0,\pi ]}
P
∈
A
{\displaystyle P\in A}
cos
(
ϑ
)
=
g
(
P
)
(
x
→
,
y
→
)
g
(
P
)
(
x
→
,
x
→
)
g
(
P
)
(
y
→
,
y
→
)
{\displaystyle \cos(\vartheta )={\frac {g(P)({\vec {x}},{\vec {y}})}{{\sqrt {g(P)({\vec {x}},{\vec {x}})}}\,{\sqrt {g(P)({\vec {y}},{\vec {y}})}}}}}
Az invariáns távolságnégyzet kiszámítása:
d
s
2
=
g
a
b
d
x
a
d
x
b
{\displaystyle ds^{2}=g_{ab}\ dx^{a}\ dx^{b}}
Koordináta-rendszert választva a V vektortérben, és a koordinátavektorokat rendre
(
e
i
)
{\displaystyle (e_{i})}
g metrikus tenzor felírható a
g
i
j
(
P
)
=
g
(
P
)
(
e
i
,
e
j
)
{\displaystyle g_{ij}(P)=g(P)(e_{i},e_{j})}
x
→
=
x
i
e
→
i
{\displaystyle {\vec {x}}=x^{i}{\vec {e}}_{i}}
y
→
=
y
i
e
→
i
{\displaystyle {\vec {y}}=y^{i}{\vec {e}}_{i}}
g
(
P
)
(
x
→
,
y
→
)
=
g
i
j
(
P
)
x
i
y
j
{\displaystyle g(P)\left({\vec {x}},\,{\vec {y}}\right)=g_{ij}(P)\,x^{i}\,y^{j}}
A kategóriaelmélet fogalmai szerint a metrikus tenzor, illetve koordinátákkal való ábrázolása kovariáns , mivel az
φ
:
(
A
,
V
)
→
(
B
,
W
)
{\displaystyle \varphi :(A,V)\to (B,W)}
injektív affin lineáris leképezések a (B,W) fölötti metrikus tenzorokat természetes módon (A,V) fölötti metrikus tenzorokba viszik:
(
φ
∗
g
)
(
P
)
(
x
→
,
y
→
)
=
g
(
φ
(
P
)
)
(
φ
∗
(
x
→
)
,
φ
∗
(
x
→
)
)
{\displaystyle (\varphi ^{*}g)(P)({\vec {x}},{\vec {y}})=g{\bigl (}\varphi (P){\bigr )}{\Bigl (}\varphi _{*}({\vec {x}}),\varphi _{*}({\vec {x}}){\Bigr )}}
A fizikai alkalmazások szerint a metrikus tenzor, illetve koordinátákkal való ábrázolása kontravariáns, mert koordinátái a koordináta-rendszer transzformációjakor ugyanúgy transzformálódnak, mint a bázis .
Ha a koordináta-rendszer transzformációját a
x
k
=
A
k
i
x
~
i
{\displaystyle x^{k}=A^{k}{}_{i}\;{\tilde {x}}^{i}}
x
~
i
=
(
A
−
1
)
i
k
x
k
{\displaystyle {\tilde {x}}^{i}=(A^{-1})^{i}{}_{k}\;x^{k}}
képletek írják le, akkor a bázisvektorok így transzformálódnak:
e
~
i
=
A
k
i
e
k
=
(
A
T
)
i
k
e
k
{\displaystyle {\tilde {e}}_{i}=A^{k}{}_{i}\;e_{k}=(A^{T})_{i}{}^{k}\;e_{k}}
és a metrikus tenzor transzformációja:
g
~
i
j
=
g
(
e
~
i
,
e
~
j
)
=
(
A
T
)
i
k
(
A
T
)
j
l
g
k
,
l
.
{\displaystyle {\tilde {g}}_{ij}=g({\tilde {e}}_{i},\,{\tilde {e}}_{j})=(A^{T})_{i}{}^{k}\,(A^{T})_{j}{}^{l}\;g_{k,l}.}
Ha
γ
:
[
a
,
b
]
→
A
{\displaystyle \gamma :[a,b]\to A}
A affin térben, akkor minden t pontban van érintője:
x
→
(
t
)
=
γ
˙
(
t
)
=
d
d
t
γ
(
t
)
{\displaystyle {\vec {x}}(t)={\dot {\gamma }}(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\gamma (t)}
A görbe , vagy görbeszegmens hossza a metrikus tenzorral számítható:
L
[
a
,
b
]
(
γ
)
=
∫
a
b
g
(
γ
(
t
)
)
(
x
→
(
t
)
,
x
→
(
t
)
)
d
t
=
∫
a
b
‖
γ
˙
(
t
)
‖
γ
(
t
)
d
t
{\displaystyle L_{[a,b]}(\gamma )=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g{\bigl (}\gamma (t){\bigr )}{\Bigl (}\,{\vec {x}}(t),\,{\vec {x}}(t)\,{\Bigr )}}}\,\mathrm {d} t=\int \limits _{a}^{b}\|{\dot {\gamma }}(t)\|_{\gamma (t)}\,\mathrm {d} t}
A
d
s
2
=
g
i
j
d
x
i
d
x
j
{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=g_{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}}
A láncszabály szerint
d
s
2
=
g
i
j
d
x
i
d
t
d
x
j
d
t
d
t
2
{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=g_{ij}{\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} x^{j}}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} t^{2}}
ahol d s a fenti, ívhossz kiszámítását célzó integrált jelenti.
Legyen A Riemann-sokaság, adva legyen benne a
(
g
i
j
)
{\displaystyle (g_{ij})}
q
i
=
q
i
(
t
1
,
t
2
,
.
.
.
,
t
p
)
{\displaystyle q^{i}=q^{i}(t^{1},t^{2},...,t^{p})}
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,\dots ,n}
t
α
=
t
α
(
t
)
,
(
a
≤
t
≤
b
)
,
(
α
=
1
,
…
,
p
)
{\displaystyle t^{\alpha }=t^{\alpha }(t),\quad (a\leq t\leq b),\ (\alpha =1,\dots ,p)}
Ekkor e görbe ívhossza:
s
=
∫
a
b
g
i
j
d
q
i
d
t
d
q
j
d
t
d
t
=
∫
a
b
g
i
j
∂
q
i
∂
t
α
d
t
α
d
t
∂
q
j
∂
t
β
d
t
β
d
t
d
t
=
∫
a
b
g
i
j
∂
q
i
∂
t
α
∂
q
j
∂
t
β
d
t
α
d
t
d
t
β
d
t
d
t
{\displaystyle s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g_{ij}{\frac {\mathrm {d} q^{i}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} q^{j}}{\mathrm {d} t}}}}\mathrm {d} t=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g_{ij}{\frac {\partial q^{i}}{\partial t^{\alpha }}}{\frac {\mathrm {d} t^{\alpha }}{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial q^{j}}{\partial t^{\beta }}}{\frac {\mathrm {d} t^{\beta }}{\mathrm {d} t}}}}\mathrm {d} t=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g_{ij}{\frac {\partial q^{i}}{\partial t^{\alpha }}}{\frac {\partial q^{j}}{\partial t^{\beta }}}{\frac {\mathrm {d} t^{\alpha }}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} t^{\beta }}{\mathrm {d} t}}}}\mathrm {d} t}
ahol
a
α
β
:=
g
i
j
∂
q
i
∂
t
α
∂
q
j
∂
t
β
{\displaystyle a_{\alpha \beta }:=g_{ij}{\frac {\partial q^{i}}{\partial t^{\alpha }}}{\frac {\partial q^{j}}{\partial t^{\beta }}}}
Ezzel számolva az ívhossz :
s
=
∫
a
b
a
α
β
d
t
α
d
t
d
t
β
d
t
d
t
{\displaystyle s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {a_{\alpha \beta }{\frac {\mathrm {d} t^{\alpha }}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} t^{\beta }}{\mathrm {d} t}}}}\mathrm {d} t}
- a gömbfelszín metrikus tenzora:
g
=
(
r
2
0
0
r
2
sin
2
θ
)
{\displaystyle g={\begin{pmatrix}r^{2}&0\\0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}}}
- a Minkowski-téridő metrikus tenzora:
g
=
(
1
0
0
0
0
−
1
0
0
0
0
−
1
0
0
0
0
−
1
)
{\displaystyle g={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}
- a gömbszimmetrikus (Schwarzschild ) téridő metrikus tenzora, ahol
r
s
{\displaystyle r_{s}}
Schwarzschild-sugár :
g
=
(
1
−
r
s
r
0
0
0
0
−
1
1
−
r
s
r
0
0
0
0
−
r
2
0
0
0
0
−
r
2
sin
2
θ
)
{\displaystyle g={\begin{pmatrix}1-{\frac {r_{s}}{r}}&0&0&0\\0&-{\frac {1}{1-{\frac {r_{s}}{r}}}}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}}}
Hraskó Péter : Relativitáselmélet, Typotex Kiadó 2002 , ISBN 963-9326-30-5 , hibajegyzék Perjés Zoltán : Általános relativitáselmélet, Akadémiai Kiadó 2006 , ISBN 9630584239 Novobátzky Károly : A relativitás elmélete, Tankönyvkiadó 1963 Landau - Lifsic : Elméleti Fizika II. Tankönyvkiadó 1976 Fließbach, Torsten: Allgemeine Relativitätstheorie, Elsevier GmbH kiadó München 2006 , ISBN 978-3-8274-1685-8
Oloff, Rainer: Geometrie der Raumzeit, Friedr. Vieweg & Sohn kiadó Wiesbaden 2008 , ISBN 978-3-8348-0468-6
Ez a szócikk részben vagy egészben a Metrischer Tensor
![{\displaystyle \vartheta \in [0,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/075eeb74cded7c1e756373afe21685a255ab0e63)
![{\displaystyle \gamma :[a,b]\to A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/906d0a5975ad0cd0e147bea7d2689f67753bcc2d)
![{\displaystyle L_{[a,b]}(\gamma )=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g{\bigl (}\gamma (t){\bigr )}{\Bigl (}\,{\vec {x}}(t),\,{\vec {x}}(t)\,{\Bigr )}}}\,\mathrm {d} t=\int \limits _{a}^{b}\|{\dot {\gamma }}(t)\|_{\gamma (t)}\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f35dc659aace1de2dfa72f855c0829c0eec5407)
