Főmenü megnyitása

A modulus az algebrai struktúrák egy fajtája, a vektortér fogalmának általánosítása, gyengítése, amely bizonyos vektortéraxiómák elhagyásával keletkezik. Egy gyűrű feletti modulus viszonya a gyűrűhöz ahhoz hasonlít, mint egy test feletti vektortér viszonya a testhez. Az algebrában a modulusoknak számos alkalmazása van többek közt a csoportelméletben, a gyűrűelméletben és az algebrai geometriában.

A modulust egy olyan vektortérként foghatjuk fel, ahol a skalárok nem testet, hanem csak gyűrűt alkotnak.

DefinícióSzerkesztés

Legyen adva egy   gyűrű, és legyen   Abel-csoport. Tegyük fel, hogy létezik egy   „szorzás” művelet (ez fogja a vektorok skalárral való szerepét kapni, egymás mellé írással jelöljük). Az  -et bal oldali  -modulusnak nevezzük, ha az előbbi műveletek teljesítik a következő kritériumokat:

Legyenek   és  . Ekkor:

  • r(n+m)=rn+rm
  • (r+s)n=rn+sn
  • r(sn)=(rs)n

Ha   egységelemes gyűrű, akkor  -et unitér modulusnak nevezzük, ha

  •  

Hasonlóan értelmezzük a jobb oldali modulust, ekkor a szorzás a másik oldalról történik. Vannak kétoldali modulusok, ezek egyszerre bal és jobb oldali modulusok, tehát a jobb oldali szorzás ugyanaz, mint a bal oldali szorzás (szokás ezt bimodulusnak is nevezni).

PéldákSzerkesztés

Legyen   egy Abel-csoport. Ez modulussá tehető   felett a következő szorzásművelettel. Legyen   és ekkor    -szer. Ha   negatív, akkor értelem szerint  -nek kell az  -szeres összegét venni, ha pedig  , akkor  . Könnyen ellenőrizhető, hogy ez valóban modulus.

Legyen  , tehát az  -es valós mátrixok (az összeadással és a mátrixszorzással, mint művelettel), és legyen  , és értelmezzük a szorzást így:   esetén  , tehát a közönséges mátrix-vektor szorzás. Ez egy bal oldali modulus, de nem kétoldali, ugyanis általában  .

IrodalomSzerkesztés

  • Kiss Emil (2007): Bevezetés az algebrába. Typotex Kft. [1]
  • Kiss Emil: Bevezetés az absztrakt algebrába [2]