Momentumgeneráló függvény

A momentumgeneráló függvény a valószínűségi változókhoz rendelt függvények egyike. Sok esetben definiálható a függvény a nulla egy környezetében a komplex síkon vagy a valós számok egy szakaszán, és deriváltjai segítenek kiszámítani a valószínűségi változó momentumait, innen a neve.

DefinícióSzerkesztés

Egy   valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye:[1]

 ,

ahol   a függvény változója. A momentumgeneráló függvény ott van értelmezve, ahol a jobb oldali várható érték létezik. Mindenesetre a konvergencia igaz a   pontban. Sok esetben ennek egy környezetében is teljesül a konvergencia, így a függvény hatványsorba fejthető:

 .

Ahol   és   az   momentumai.

A momentumgeneráló függvény csak   eloszlásától függ. Ha a valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye a nulla egy környezetében is konvergál, akkor az eloszlásnak van momentumgeneráló függvénye. Ha   csak a nullában értelmezhető, akkor az eloszlásnak nincs momentumgeneráló függvénye.

Folytonos valószínűségeloszlásokSzerkesztés

Ha   eloszlása folytonos az   folytonos sűrűségfüggvénnyel, akkor a várható érték helyettesítésével teljesül, hogy

 
 
 

ahol   az    -adik momentuma. Az   éppen az   által meghatározott mérték kétoldali Laplace-transzformációja.

MegjegyzésekSzerkesztés

ElnevezésSzerkesztés

A momentumgenerátor név abból ered, hogy a függvény deriváltjai a nulla helyen éppen a valószínűségeloszlás momentumait veszik fel, mégpedig a  -adik derivált a  -adik momentumot:

 ,

ahogy az a fenti hatványsorból is kiolvasható. Az összes létező és nem eltűnő momentummal az eloszlás egyértelmű, feltéve, ha a momentumgeneráló függvény értelmezhető egy nyílt   szakaszon, ahol  .

Kapcsolat a karakterisztikus függvénnyelSzerkesztés

A momentumgeneráló függvény kapcsolódik az eloszlás   karakterisztikus függvényéhez. Momentumgeneráló függvény létezése esetén  . Szemben a momentumgeneráló függvénnyel, karakterisztikus függvénye minden valószínűségi változónak van.

Kapcsolat a valószínűséggeneráló függvénnyelSzerkesztés

Valószínűséggeneráló függvénye csak olyan eloszlásoknak van, amelyek értékei  -beliek. Ekkor ez a függvény  . Ekkor diszkrét változókra   .

Kapcsolat a kumulánsgeneráló függvénnyelSzerkesztés

A kumulánsgeneráló függvény a momentumgeneráló függvény logaritmusa. Belőle vezetik le a kumulánsokat.

Független valószínűségi változók összegeSzerkesztés

Független valószínűségi változók összegének momentumgeneráló függvénye a valószínűségi változók momentumgeneráló függvényeinek szorzata. Azaz, ha   független valószínűségi változók, akkor   momentumgeneráló függvénye:

 ,

ahol az utolsó előtti egyenlőség azt használja fel, hogy független valószínűségi változók összegének várható értéke a valószínűségi változók várható értékeinek szorzata.

EgyértelműségSzerkesztés

Ha egy valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye véges a nulla egy környezetében, akkor egyértelműen meghatározza a valószínűségi változó eloszlását.[2]

Legyenek   és   valószínűségi változók, az   és   momentumgeneráló függvényekkel. Ha van egy  , hogy   minden   esetén, akkor   akkor és csak akkor, ha   minden   helyen.

PéldákSzerkesztés

Több eloszlásnak ismert a momentumgeneráló függvénye:

Eloszlás Momentumgeneráló függvény, MX(t)
Bernoulli-eloszlás    
Béta-eloszlás  [3]  
Binomiális eloszlás    
Cauchy-eloszlás Nincs momentumgeráló függvény.[4]
Khi-négyzet-eloszlás  [5]  
Erlang-eloszlás     ha  
Exponenciális eloszlás     ha  
Gamma-eloszlás    
Geometriai eloszlás a   paraméterrel  
Egyenletes eloszlás a   intervallumon  
Laplace-eloszlás a   paraméterekkel[6]  
Negatív binomiális eloszlás     ha  
Normális eloszlás    
Poisson-eloszlás a   paraméterrel  

Többdimenziós valószínűségi változóSzerkesztés

A momentumgeneráló függvény általánosítható   dimenziós valós valószínűségi vektorváltozóra. Legyen  , ekkor

 ,

ahol   a skaláris szorzás.

JegyzetekSzerkesztés

  1. Robert G. Gallager: Stochastic Processes. Cambridge University Press, 2013, ISBN 978-1-107-03975-9, Kapitel 1.5.5: Moment generating functions and other transforms
  2. J. H. Curtiss: A Note on the Theory of Moment Generating Functions. In: The Annals of Mathematical Statistics. Band 13, Nr. 4, 1942, ISSN 0003-4851, S. 430–433, abgerufen 30. Dezember 2012, (PDF; 402 KB).
  3. Otto J.W.F. Kardaun: Classical Methods of Statistics. Springer-Verlag, 2005, ISBN 3-540-21115-2, S. 44.
  4. Allan Gut: Probability: A Graduate Course. Springer-Verlag, 2012, ISBN 978-1-4614-4707-8, Kapitel 8, Beispiel 8.2.
  5. A. C. Davison: Statistical Models. Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-1-4672-0331-9, Kapitel 3.2.
  6. Hisashi Tanizaki: Computational Methods in Statistics and Econometrics. Verlag Taylor and Francis, 2004, ISBN 0-203-02202-5, Abschnitt 2.2.11.

ForrásokSzerkesztés

  • Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. Springer, Berlin / Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3, S. 378 ff.

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Momenterzeugende Funktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.