A Morrie-tétel egy trigonometrikus azonosság , amely kimondja, hogy
cos 20 ∘ ⋅ cos 40 ∘ ⋅ cos 80 ∘ = 1 8 . {\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}}.} Ez egy speciális esete a következő általánosabb azonosságnak:
2 n ⋅ ∏ k = 0 n − 1 cos ( 2 k α ) = sin ( 2 n α ) sin ( α ) , {\displaystyle 2^{n}\cdot \prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{\sin(\alpha )}},} méghozzá n = 3 {\displaystyle n=3} és α = 20 ∘ {\displaystyle \alpha =20^{\circ }} választással.
A név Richard Feynmantól származik, aki ezen a néven hivatkozott az azonosságra, ugyanis gyermekkorában hallott róla először egy Morrie Jacobs nevű fiútól.[1]
Egy hasonló azonosság létezik a szinusz szögfüggvényre is:
sin 20 ∘ ⋅ sin 40 ∘ ⋅ sin 80 ∘ = 3 8 . {\displaystyle \sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}.} Továbbá, a második azonosságot elosztva az elsővel azt kapjuk, hogy
tan 20 ∘ ⋅ tan 40 ∘ ⋅ tan 80 ∘ = 3 . {\displaystyle \tan 20^{\circ }\cdot \tan 40^{\circ }\cdot \tan 80^{\circ }={\sqrt {3}}.}
Írjuk fel a kétszeres szög szinuszára vonatkozó azonosságot:
sin ( 2 α ) = 2 sin ( α ) cos ( α ) . {\displaystyle \sin(2\alpha )=2\sin(\alpha )\cos(\alpha ).} Ebből fejezzük ki cos ( α ) {\displaystyle \cos(\alpha )} -t:
cos ( α ) = sin ( 2 α ) 2 sin ( α ) . {\displaystyle \cos(\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha )}}.} Innen következik, hogy:
cos ( 2 α ) = sin ( 4 α ) 2 sin ( 2 α ) cos ( 4 α ) = sin ( 8 α ) 2 sin ( 4 α ) ⋮ cos ( 2 n − 1 α ) = sin ( 2 n α ) 2 sin ( 2 n − 1 α ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(2\alpha )&={\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\\[6pt]\cos(4\alpha )&={\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\\&{}\,\,\,\vdots \\\cos(2^{n-1}\alpha )&={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2\sin(2^{n-1}\alpha )}}.\end{aligned}}} Ezen kifejezéseket összeszorozva a következőt kapjuk:
cos ( α ) cos ( 2 α ) cos ( 4 α ) ⋯ cos ( 2 n − 1 α ) = sin ( 2 α ) 2 sin ( α ) ⋅ sin ( 4 α ) 2 sin ( 2 α ) ⋅ sin ( 8 α ) 2 sin ( 4 α ) ⋯ sin ( 2 n α ) 2 sin ( 2 n − 1 α ) . {\displaystyle \cos(\alpha )\cos(2\alpha )\cos(4\alpha )\cdots \cos(2^{n-1}\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\cdots {\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2\sin(2^{n-1}\alpha )}}.} Ez egy teleszkopikus szorzat , egyszerűsítés után azt kapjuk, hogy
∏ k = 0 n − 1 cos ( 2 k α ) = sin ( 2 n α ) 2 n sin ( α ) , {\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2^{n}\sin(\alpha )}},} amely megegyezik a Morrie-tétel általánosításával.
Ez a szócikk részben vagy egészben a Morrie's law című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
↑ W. A. Beyer, J. D. Louck, and D. Zeilberger , A Generalization of a Curiosity that Feynman Remembered All His Life , Math. Mag. 69, 43–44, 1996.