Neumann-sor

Neumann-sor alatt a

$\sum _{n=0}^{\infty }T^{n}$

alakú sorokat értik, ahol T egy operátor. Ez a mértani sor általánosításának tekinthető.

Az ilyen sorokat Carl Neumann matematikusról nevezték el, aki 1877-ben használta fel a potenciálelméletben. A Neumann-sort használják a funkcionálanalízisben és hasznos korlátos operátorok spektrálanalízisénél is. A Fredholm-integrálegyenletek megoldásának alapját szolgáló Liouville-Neumann-sor is a Neumann-sorra alapul.

Tulajdonságok

Tegyük fel, hogy T egy korlátos operátor az X normált téren. Ha a Neumann-sor konvergens az operátornormában, akkor Id – T invertálható, és az inverz maga a sor összege:

$(\mathrm {Id} -T)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }T^{n}.$

A konvergencia garantált, ha X Banach-tér és |T| < 1 az operátornormában. Vannak viszont további eredmények is, amelyek gyengébb feltételek mellett is garantálják a konvergenciát. Például elég, ha $T$ a $\;\|T^{n}\|<1\;$ feltételt teljesíti. Ekkor

${\begin{aligned}(I-T)^{-1}=&\left(I+T+T^{2}+\dots +T^{n-1}\right)\cdot \left(I-T^{n}\right)^{-1}\\=&\left(I+T+T^{2}+\dots +T^{n-1}\right)\cdot \sum \limits _{k=0}^{\infty }T^{kn}\end{aligned}}$

A lineáris operátorok invertálhatósága

Legyen V Banach-tér, például $V:=\mathbb {R} ^{n}$, és $A:V\to V$ korlátos operátor, például az $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ négyzetes mátrixszal megadott lineáris leképezés. Tudjuk, hogy A minden $\gamma >0$ skálázási tényezőre felírható, mint

$A={\tfrac {1}{\gamma }}(I-T_{\gamma })\;$, ahol $\;T_{\gamma }:=I-\gamma \,A.$

Ha most van olyan skálázási tényező, hogy $\|T_{\gamma }\|_{{}_{V\to V}}<1$ az indukált operátornormában, akkor A invertálható, és inverze megadható a Neumann-sor felhasználásával:

$A^{-1}=\gamma \left(I+\sum _{k=1}^{\infty }T_{\gamma }{}^{k}\right)=\gamma \left(I+\sum _{k=1}^{\infty }(I-\gamma \,A)^{k}\right).$

Az invertálható operátorok halmazának nyíltsága

Legyenek $B,B'$ Banach-terek, és legyen $S:B\to B'$ invertálható operátor. Ekkor minden más operátorra, T-re:

Ha S és T távolsága az operátornormában becsülhető úgy, hogy $\|T-S\|=q\,\|S^{-1}\|^{-1}$, ahol 0 < q < 1, akkor T szintén invertálható, és inverzének operátornormája ::$\|T^{-1}\|\leq {\tfrac {1}{1-q}}\|S^{-1}\|$.

Bizonyítás: Felbontjuk T-t a következőképpen:

$T=S(I-(I-S^{-1}T))$

Alkalmazzuk a második tényezőre a Neumann-sort. A konvergenciát a

$\|I-S^{-1}T\|\leq \|S^{-1}\|\,\|S-T\|\leq q<1$

feltétel biztosítja.

Következik, hogy az invertálható operátorok halmaza nyílt az operátornormára vonatkozóan.

Bibliográfia

• Werner, Dirk. Funktionalanalysis (német nyelven). Springer Verlag (2005). ISBN 3-540-43586-7