Főmenü megnyitása

Ha végtelen sok számot adunk össze, akkor végtelen sort kapunk. Néhány példa:

A végtelen sorok tanulmányozása már a 17. században elkezdődött. Bizonyos mennyiségek és függvények kiszámítása egyszerűbbé válik, ha végtelen soralakban írjuk fel őket.

Tartalomjegyzék

Alapvető fogalmakSzerkesztés

Ha (xn) egy számsorozat, akkor numerikus soron (illetve az (xn) számsorozatból képezett soron) az

 

rendezett párt értjük, ahol

 

az (xn) sorozat részletösszegeinek sorozata. Az (xn)-ből képezett sor jelölésére a

 

jelölés használatos. Ebben a tekintetben egy n számot indexnek, az xn számot a sor n-edik tagjának nevezzük. xn az sn összeg utolsó tagja.

Gyakran van, hogy egy sor olyan (xn) sorozatból készül, mely nem a természetes számok N halmazán, hanem annak az m számnál nagyobb-egyenlő számokból álló részhalmazán értelmezett. Ezt a következőféleképpen jelöljük:  

Megjegyzés. Sokszor magára a sorra csak mint az (sn) részletösszeg-sorozatra gondolnak, nem szükséges, hogy a numerikus sort rendezett párként definiálják, legfeljebb néha előnyös.

Azt mondjuk, hogy a ∑(xn) sor konvergens, ha a részletösszegeinek (sn) sorozata konvergens. Ha ∑(xn) konvergens, akkor az (sn) határértékét a ∑(xn) sor összegének nevezzük és a

 

szimbólummal jelöljük.

Megjegyezzük, hogy a ∑(xn) pontosan akkor konvergens, ha az első m-1 tagjának elhagyásával kapott   sor is az. De a két sor összege már nem feltétlenül azonos. A sor összegezhetősége szempontjából ugyan nem, de a sor összege meghatározásánál lényeges az, hogy az összegzést melyik indextől kezdjük. Például tetszőleges q valós számra

  és  

egyszerre konvergensek vagy nem, de az |q| < 1 összegezhetőségi feltétel fennállása esetén

  és  

KonvergenciakritériumokSzerkesztés

Cauchy-konvergenciakritériumSzerkesztés

Sorok összegezhetőségének megállapításánál ugyanaz a nehézség áll elő, mint a sorozatok konvergenciájának megállapításánál. Ha definíció szerint szeretnénk belátni a konvergenciát, akkor előre tudnunk kellene a sor összegét. Ezt a nehézséget először Cauchy hidalta át, aki a konvergenciára egy olyan kritériumot vezetett be, mely nem feltételezi a sorösszeg ismeretét.

Cauchy-kritérium. Az alábbi kijelentések ekvivalensek egymással:

  1. ∑(an) végtelen sor konvergens
  2.  

Ezt azt jelenti, hogy egy sor pontosan akkor konvergens, ha a részletösszegek sorozata a Cauchy-sorozat. Ugyanis

 .

Szükséges kritériumSzerkesztés

Konvergens numerikus sorok esetén lehetetlen, hogy az a sorozat, amiből a sort képeztük ne legyen nullsorozat.

Sorok összegezhetőségének szükséges feltétele

Ha a ∑(an) sor konvergens, akkor an   0.

Ugyanis, legyen a sor összege AR és a ∑(an) részletösszegeinek sorozata (sn). Mivel (sn-1) részsorozata a konvergens (sn)-nek ezért:

 

szintén konvergens és a konvergens sorozatok különbségének határértékére vonatkozó tulajdonság miatt:

 .

Ez a feltétel nem elégséges. Nevezetes ellenpélda ugyanis a

 

harmonikus sor, mely divergens, bár a tagjai a nullához tartanak. Ezt már a Cauchy-kritériummal is igazolni tudjuk. Legyen ugyanis ε = 1/2 és N tetszőleges természetes szám. Ekkor az n = N + 1 és m = 2N számok olyanok, hogy

 

Egy másik jellegzetes példa. A

 

sor tagjai a nullához tartanak, ugyanakkor a sor n-edik részletösszege teleszkopikus összeg és

 
 

Megjegyzés: egy nem negatív tagú sor akkor és csak akkor konvergens, ha a részletösszegeinek sorozata korlátos, illetve ha egy nemnegatív tagú sor divergens, akkor az összege végtelen.

Végtelen sorok és műveletekSzerkesztés

Állítás: Ha a   végtelen sor konvergens és az összege A, akkor minden  -re a   sor is konvergens, és az összege  .

Bizonyítás:Ha a   sor n-edik részletösszege  , akkor a   sor n-edik részletösszege  . Így az állítás abból következik, hogy  

Állítás: Ha a   és   sorok konvergensek, és összegük A illetve B, akkor a   sor is konvergens, és az összege A+B.

Bizonyítás: Ha a megfelelő sorok n-edik részletösszegei   illetve  , akkor a   sor n-edik részletösszegei  . Így az állítás következik abból, hogy  .

Megjegyzés: Egy konvergens sor tagjai közül akárhány 0-val egyenlő tagot elhagyva, illetve akárhány 0-t beszúrva a sor konvergens marad és az összege nem változik.

Állítás: Egy konvergens sor tagjai közül véges sokat elhagyva, véges sok új tagot beszúrva, illetve véges sok tagot megváltoztatva a sor konvergens marad.

Bizonyítás: Tegyük fel, hogy a   sor tagjai közül az   tagot elhagyjuk. Ekkor   esetén az új sor n-edik részletösszege   lesz, tehát az új sor részletösszegeinek sorozata  -hoz tart. Ha viszont a   sor k-adik és k+1-edik tagja közé beszúrunk egy új c tagot, akkor n>k esetén az új sor n-edik részletösszege   lesz, tehát az új sor részletösszegeinek sorozata A+c-hez tart. Mindkét esetben konvergens sort kapunk. Ebből következik, hogy e két operációt véges sokszor elvégezve az eredményül kapott sor konvergens marad. Véges sok tag megváltoztatása elérhető úgy, hogy az illető tagokat elhagyjuk, majd a helyükre újakat szúrunk be, tehát a konvergenciát ez sem változtatja meg.

Azt mondjuk, hogy a   végtelen sor a   és   sorok összefésülése, ha a   sorozat az   és   tagokat és csak azokat sorolja fel, mindegyiket pontosan egyszer, és az  , illetve   tagok sorrendje a   sorozatban ugyanaz, mint az   illetve   sorozatban.

Állítás: Ha a   és   sorok konvergensek és az összegük A, illetve B, akkor a sorok minden összefésülése is konvergens, és az összege A+B.

Bizonyítás: A két sor minden összefésülése megkapható oly módon, hogy mindkét sorba alkalmas helyekre 0 tagokat szúrunk be, majd az így kapott két sort tagonként összeadjuk. Így az állítás a fentiekből következik.

Abszolút és feltételes konvergenciaSzerkesztés

A   végtelen sort abszolút konvergensnek nevezzük, ha a   sor konvergens.

Állítás: Minden abszolút konvergens sor konvergens.

Bizonyítás: Ha   abszolút konvergens, akkor a Cauchy-kritérium szerint minden  >0-hoz van olyan N, hogy   teljesül minden  -re. De ekkor a háromszög-egyenlőtlenség szerint   is teljesül, tehát a   sor is kielégíti a Cauchy-kritériumot.Tehát az állítást beláttuk.

Tétel: Egy abszolút konvergens sor bármely átrendezettje is abszolút konvergens, és az összege ugyanaz mint az eredeti soré.

Bizonyítás: Legyen a   a   sor egy átrendezettje. Adott  >0-hoz válasszunk egy olyan N-et, hogy   teljesüljön minden m>N-re. Az   tagok mind szerepelnek a   sorban. Ha itt az indexeik maximuma M, akkor k>M esetén a   tagoknak az   sorbeli indexei nem kisebbek N-nél, tehát elég nagy m-re szerepelnek az   tagok között. Így  . Ebből következik, hogy a   sor is kielégíti a Cauchy-kritériumot, tehát konvergens. Ezzel beláttuk, hogy a   sor is abszolút konvergens, tehát a fenti állítás miatt konvergens is. Legyen   és  . Adott  >0-ra legyen N és M mint fent. Ekkor k>max(N,M) esetén a   különbségében minden   tag kiesik, tehát   olyan   alakú tagok összege, amelyek indexei különbözőek és N-nél nagyobbak. Így alkalmas m>N-re   Ezzel beláttuk, hogy  . Azonban  , tehát A=B.

A   végtelen sort feltételesen konvergesnek nevezzük, ha konvergens, de nem abszolút konvergens.

Lásd mégSzerkesztés

IrodalomSzerkesztés