Oktaéderszámok

A számelméletben az oktaéderszámok olyan poliéderszámok, illetve figurális számok, melyek a sűrűn pakolt gömbökből összeálló oktaéderekben részt vevő gömbök számát reprezentálják. Az n-edik oktaéderszám $O_{n}$ a következő képlettel állítható elő:

146, oktaéder formába pakolt mágneses golyóbis

$O_{n}={n(2n^{2}+1) \over 3}.$

Az első néhány oktaéderszám:

1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670, 891 (A005900 sorozat az OEIS-ben).

Tulajdonságai, alkalmazásai

Az oktaéderszámok generátorfüggvénye:

${\frac {z(z+1)^{2}}{(z-1)^{4}}}=\sum _{n=1}^{\infty }O_{n}z^{n}=z+6z^{2}+19z^{3}+\cdots .$

Sir Frederick Pollock 1850-es sejtése szerint bármely szám felírható legfeljebb 7 oktaéderszám összegeként.

Kapcsolat más figurális számokkal

Négyzetes piramisszámok

Négyzetes piramisok, melyek minden rétege középpontos négyzetszámú kockából áll. Mindegyik piramisban a kockák teljes száma oktaéderszámot ad.

A gömbök oktaéderes pakolása felosztható két négyzetes piramissá, az egyik fejjel lefelé a másik alatt, négyzet keresztmetszettel elválasztva. Ezért az n-edik oktaéderszám $O_{n}$ megkapható két egymást követő négyzetes piramisszám összeadásával:

$O_{n}=P_{n-1}+P_{n}.$

Tetraéderszámok

Ha $O_{n}$ az n-edik oktaéderszám és $T_{n}$ az n-edik tetraéderszám, akkor

$O_{n}+4T_{n-1}=T_{2n-1}.$

Ez azt a matematikai tényt fejezi ki, hogy egy oktaéder négy, nem egymás melletti lapjához tetraédert ragasztva kétszeres méretű tetraédert kapunk. Egy másik lehetőség, hogy egy oktaéder felosztható négy tetraéderre oly módon, hogy mindegyiknek két összeérő lapja van:

$O_{n}=T_{n}+2T_{n-1}+T_{n-2}.$

Középpontos négyzetszámok

Két egymást követő oktaéderszám különbsége középpontos négyzetszám:

$O_{n}-O_{n-1}=C_{4,n}=n^{2}+(n-1)^{2}.$

Ezért az oktaéderszámok kifejezik a középpontos négyzetek egymásra helyezésével kapott négyzetes piramis pontjainak számát is; ami miatt 1575-ös könyvében, az Arithmeticorum libri duo-ban Francesco Maurolico "pyramides quadratae secundae"-nek nevezte ezeket a számokat.

Kapcsolódó szócikkek

• Középpontos oktaéderszám

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben az Octahedral number című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

További információk

• Weisstein, Eric W.: Octahedral Number (angol nyelven). Wolfram MathWorld