PID szabályozó

A PID szabályozó egy lineáris rendszerek szabályozásánál gyakran alkalmazott, párhuzamos kompenzáción alapuló szabályozótípus. A PID rövidítés a szabályozó elvére utal, a szabályozó által kiadott végrehajtójel

• a hibajellel (P: proportional),
• a hibajel integráljával (I: integral), valamint
• a hibajel változási sebességével, deriváltjával (D: derivative)

A PID szabályozó blokkdiagramja

arányos tagokból adódik össze, azaz a végrehajtójel a jelenlegi hiba, a múltbeli hibák és a várható hibák függvénye. Ezen tagok közül nem mindig valósítják meg mindet, ilyenkor beszélhetünk P, PI, PD szabályozókról. A végrehajtójel használható a folyamat vezérlésére, például egy fűtési rendszer energiaforrásának szabályozására.

Matematikai leírás

A PID szabályozó bemenetét $e(t)$-vel, kimenetét $u(t)$-vel jelölve azt várjuk el a szabályozótól, hogy

$u(t)=K_{P}e(t)+K_{I}\int _{0}^{t}e(\tau )\mathrm {d} \tau +K_{D}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}e(t).$

alakú kimenetet állítson elő, ahol $K_{P}$ az arányos tag súlyát, $K_{I}$ az integráló tag és $K_{D}$ a differenciáló tag súlyát adja meg.

Mint lineáris rendszer, a PID szabályozó viselkedése is leírható frekvenciatartományban. Átviteli függvénye párhuzamos, az előző képletből a Laplace-transzformáció alapján következő alakban:

$H(s)=K_{P}+K_{I}{\frac {1}{s}}+T_{D}s$

Ebben a formában a differenciáló tag valóban a hibajel deriváltjával arányos jelet állítja elő, azonban ebben a tagban a számláló fokszáma nagyobb, mint a nevezőé, vagyis valós rendszerrel nem valósítható meg. Ezért az ideális differenciáló tag helyett egy közelítő D-tagot szokás megvalósítani:

${\frac {T_{D}s}{1+T_{C}s}}$

$\displaystyle {T_{C}}$ megfelelő megválasztásával a szabályozó kisfrekvenciás jelekre jól közelíti az ideális PID szabályozó tulajdonságait.

A tagok közös nevezőre hozásával és a kifejezés átrendezésével megkaphatjuk a szabályozó átviteli függvényének soros alakját:

$H(s)={\dfrac {K_{P}}{T_{I}s}}{\dfrac {(1+\tau _{1}s)(1+\tau _{2}s)}{1+T_{C}s}}$

A soros alak előnye, hogy rámutat a soros kompenzáció hatására frekvenciatartományban:

Ha a szabályozandó folyamat (szakasz) viselkedésének leírását ismerjük (a rendszer részletes fizikai modellje, vagy a szakaszt identifikálva), a $\tau _{1}$ és $\tau _{2}$ értékét az identifikált szakasz két legnagyobb időállandójával egyezőnek választva, $T_{C}$-t pedig náluk kisebbre választva a rendszer gyorsítható. Az eredő rendszert visszacsatolva pedig az integrátor jelleg (${\frac {1}{s}}$-es tényező) a rendszer statikus hibája megszüntethető.

PID szabályozó elmélete

A következőkben leírjuk, hogyan válaszolnak a szabályozó elemei, ha az alapjel egységugrás függvény szerint változik (kék vonal). Az időfüggvények csak a hasonlóságot jelzik – például villamos szabályozó alapjele 4...20 mA értékek közé eshet, míg a szabályozott jellemző akármi lehet (nyomás, hőmérséklet, folyadékszint, stb.)

Arányos rész

PV ábrázolása az idő függvényében, K_p 3 értékére(K_i és K_d paraméterek konstansok)

Az arányos tag válaszfüggvényét megkapjuk, ha megszorozzuk a hibajelet a K_p konstanssal. Az arányos tagot a következőképpen adhatjuk meg:

$P_{\mathrm {out} }=K_{p}\,{e(t)}$

ahol:

$P_{\mathrm {out} }$: arányos tag kimenete

$K_{p}$: arányos tag átviteli tényezője (erősítés)

$e$: hibajel $=SP-PV$

$SP$: Setpoint, alapjel

$PV$: Process value, szabályozott jellemző

$t$: Pillanatnyi idő

A magas erősítés azt jelenti, hogy a kimenet változása nagy lesz. Az arányos tag arányos a hibajellel. Ha az erősítés túl nagy, instabilitási problémák léphetnek fel, míg ha túl kicsi, akkor kevésbé érzékeny a szabályzó kör.

Integráló rész

PV az idő függvényében, K_i 3 értékére (K_p és K_d konstansok)

Az integráló-tag arányos a hibajel nagyságával, valamint a hibajel időtartamával is. Összegezve a pillanatnyi hibát időről időre (más szóval integrálva a hibajelet) megadja az offset-hibát. Az offset-hibát célszerű korábban kiküszöbölni. Az összegzett hibát az integrátor erősítésével összeszorozva megkapjuk az integráló tag kimenetét. Az integráló tag erősítését a $K_{i}$ paraméter határozza meg.

Az integráló-tagot a következőképpen adhatjuk meg:

$I_{\mathrm {out} }=K_{i}\int _{0}^{t}{e(\tau )}\,{d\tau }$

ahol:

$I_{\mathrm {out} }$: Integráló-tag kimenete

$K_{i}$: Erősítés, integráló tag átviteli tényezője

$SP$: Setpoint, alapjel

$PV$: Process value, szabályozott jellemző

$e$: Hibajel $=SP-PV$

$t$: Pillanatnyi idő

$\tau$: Integrálási idő

Az integráló tag (amennyiben hozzáadjuk az az arányos-taghoz) gyorsítja a folyamat mozgását az alapérték (SP-Setpoint) felé és kiküszöböli a maradó szabályozási eltérést. Mivel az integráló tag a múltbeli összegzett hibajelekkel áll összefüggésben, a jelenben túllendülést produkálhat a kívánt értékhez képest.

Differenciáló-tag

PV ábrázolása az idő függvényében, K_d 3 értékére(K_p és K_i konstansok)

A hiba változásának nagysága a hibajel meredekségéből határozható meg, azaz vesszük az első deriváltját az idő függvényében és megszorozzuk a differenciáló-tag erősítésével ($K_{d}$). A $K_{d}$ konstans megadja az erősítés nagyságát.

A differenciáló-tag a következőképpen adható meg: $D_{\mathrm {out} }=K_{d}{\frac {d}{dt}}e(t)$

ahol:

$D_{\mathrm {out} }$: Differenciáló-tag kimenete

$K_{d}$: differenciáló tag átviteli tényezője, erősítés

$SP$: Setpoint, alapjel

$PV$: Process value, szabályozott jellemző

$e$: Hibajel $=SP-PV$

$t$: Pillanatnyi idő

A differenciáló tag késlelteti a szabályozó kimenetének változásának a mértékét. Ezen túl a differenciáló-tag szerepe, hogy csökkentse az integráló-tag túllendülését, valamint fokozza a szabályozási folyamat stabilitását. Azonban a jelek differenciálása erősíti a zajt, ezért ha a zaj és az erősítése ennek a tagnak túl nagy, akkor instabilitási problémák léphetnek fel. A zaj kifejezés helyett a zavaró jellemző is használatos

Kapcsolódó szócikkek

A kifejezések értelmezését lásd a szabályozás szócikkben