Parciális integrálás

A matematikai analízisben a parciális integrálás tétele segítségével egy integrálkifejezés integrandusát lehet átalakítani, mely egyes számítások megkönnyítésére szolgál. Abban az esetben előnyös alkalmazni, amikor az első tényező, illetve a második tényező deriváltja szorzatának egyszerűbb megadni a primitív függvényét, mint a szorzatát.

Ha adott két függvény , illetve alakban, a parcális integrálás szabálya szerint ekkor az integrál az alábbiak szerint írható át:

.

Elméleti levezetése

szerkesztés

Legyen g(x) és f(x) két folytonosan differenciálható függvény. A szorzat deriváltjára vonatkozó szabály a következő:

 .

Mindkét oldalt x szerint integrálva kapjuk, hogy

 .

A határozatlan integrál értelmezését használva:

 , ebből pedig:

 .

Alkalmazásai

szerkesztés

A parciális integrálás heurisztikus, és nem mechanikus módszer integrálok kiszámítására. Csak bizonyos esetekben érdemes alkalmazni, amikor megkönnyíti a számítást. Továbbá nem mindig látszik első ránézésre, hogy melyik két függvényt érdemes f(x)-nek illetve g(x)-nek választani.

Polinom- és trigonometrikus függvények

szerkesztés

Számítsuk ki L-et, ahol

L=  .

Legyen

 ,

 .

Ezután alkalmazva a parciális integrálás szabályát :

 

 .

Ahol C egy integrálási állandó.

Konstanssal szorzott függvények

szerkesztés

Számítsuk ki L-et,ahol

 ,

írjuk át, hogy lássuk, hogyan lenne előnyös a függvényeket megválasztani:

 .

Legyen

 ,

 .

Ezután alkalmazzuk a parciális integrálás szabályát:

 

 ,

ahol C egy integrálási állandó. Számítsuk ki L-et, ahol

 ,

majd írjuk át, hogy lássuk, hogyan lenne előnyös a függvényeket megválasztani:

 .

Legyen

 ,

 .

Ezután alkalmazzuk a parciális integrálás szabályát:

 

 

 ,

ahol C egy integrálási állandó.

Trigonometrikus függvények szorzatának esete

szerkesztés

Számítsuk ki L-et,ahol

 ,

írjuk át, hogy lássuk, hogyan lenne előnyös a függvényeket megválasztani:

 .

Legyen

 ,

 .

Ezután alkalmazzuk a parciális integrálás szabályát:

 

 

 

 .

Tehát

 .

ahol C integrálási állandó.

Fordítás

szerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben az Integration by parts című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.