Parciális integrálás

Ez a közzétett változat, ellenőrizve: 2024. október 14.

A matematikai analízisben a parciális integrálás egy olyan módszer, amely függvények szorzatának integrálját írja át a szorzatban szereplő függvények deriváltjának, illetve primitív függvényének használatával. A módszer gyakran leegyszerűsíti az integrandust abban az értelemben, hogy az integrálszámítást egyszerűbben végre lehet hajtani parciális integrálást követően.

Ha adott két függvény , illetve alakban, a parciális integrálás szabálya szerint az integrál a következőképp írható át:

.

Elméleti levezetése

szerkesztés

Legyen   és   két folytonosan differenciálható függvény. A szorzat deriváltjára vonatkozó szabály a következő:

 .

Mindkét oldalt   szerint integrálva kapjuk, hogy

 .

A határozatlan integrál definíciója alapján az egyenlet a következőképp egyszerűsödik le:

 ,

ebből pedig következik, hogy:

 .

Egy határozott integrál esetében az analízis alaptételét használva pedig a következő kifejezésre jutunk:

 

Alkalmazásai

szerkesztés

A parciális integrálás heurisztikus, és nem mechanikus módszer integrálok kiszámítására. Csak bizonyos esetekben érdemes alkalmazni, amikor megkönnyíti a számítást. Továbbá nem mindig látszik első ránézésre, hogy melyik két függvényt érdemes  -nek, illetve  -nek választani.

Polinom- és trigonometrikus függvények szorzata

szerkesztés

Számítsuk ki  -et, ahol

 .

Legyen

 .

Ezután alkalmazva a parciális integrálás szabályát:

 ,

ahol   az integrálási állandó.

Konstanssal szorzott függvények

szerkesztés

Számítsuk ki  -et, ahol

 .

Ebben a formában még nem egyértelmű, hogyan hasznosítható a parciális integrálás. A következőképp átírva:

 ,

már egy szorzat van az integrál alatt, és a következőképp választhatjuk  -et és  -et:

 .

Ezután alkalmazzuk a parciális integrálás szabályát:

 ,

ahol   az integrálási állandó.

Egy egyszerűbb példa a természetes logaritmusfüggvény:

 .

Legyen

 .

Ezután alkalmazzuk a parciális integrálás szabályát:

 ,

ahol   az integrálási állandó.

Trigonometrikus függvények szorzata

szerkesztés

Számítsuk ki  -et, ahol

 .

Legyen

 .

Ezután alkalmazzuk a parciális integrálás szabályát, a   azonossággal:

 

Tehát

 .

ahol   az integrálási állandó.

Fordítás

szerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben az Integration by parts című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.