Parciális integrálás
A matematikai analízisben a parciális integrálás tétele segítségével egy integrálkifejezés integrandusát lehet átalakítani, mely egyes számítások megkönnyítésére szolgál. Abban az esetben előnyös alkalmazni, amikor az első tényező, illetve a második tényező deriváltja szorzatának egyszerűbb megadni a primitív függvényét, mint a szorzatát.
Ha adott két függvény , illetve alakban, a parcális integrálás szabálya szerint ekkor az integrál az alábbiak szerint írható át:
.
Elméleti levezetéseSzerkesztés
Legyen g(x) és f(x) két folytonosan differenciálható függvény. A szorzat deriváltjára vonatkozó szabály a következő:
.
Mindkét oldalt x szerint integrálva kapjuk, hogy
.
A határozatlan integrál értelmezését használva:
, ebből pedig:
.
AlkalmazásaiSzerkesztés
A parciális integrálás heurisztikus, és nem mechanikus módszer integrálok kiszámítására. Csak bizonyos esetekben érdemes alkalmazni, amikor megkönnyíti a számítást. Továbbá nem mindig látszik első ránézésre, hogy melyik két függvényt érdemes f(x)-nek illetve g(x)-nek választani.
Polinom- és trigonometrikus függvényekSzerkesztés
Számítsuk ki L-et, ahol
L= .
Legyen
,
.
Ezután alkalmazva a parciális integrálás szabályát :
.
Ahol C egy integrálási állandó.
Konstanssal szorzott függvényekSzerkesztés
Számítsuk ki L-et,ahol
,
írjuk át, hogy lássuk, hogyan lenne előnyös a függvényeket megválasztani:
.
Legyen
,
.
Ezután alkalmazzuk a parciális integrálás szabályát:
,
ahol C egy integrálási állandó. Számítsuk ki L-et, ahol
,
majd írjuk át, hogy lássuk, hogyan lenne előnyös a függvényeket megválasztani:
.
Legyen
,
.
Ezután alkalmazzuk a parciális integrálás szabályát:
,
ahol C egy integrálási állandó.
Trigonometrikus függvények szorzatának eseteSzerkesztés
Számítsuk ki L-et,ahol
,
írjuk át, hogy lássuk, hogyan lenne előnyös a függvényeket megválasztani:
.
Legyen
,
.
Ezután alkalmazzuk a parciális integrálás szabályát:
.
Tehát
.
ahol C integrálási állandó.
JegyzetekSzerkesztés
FordításSzerkesztés
Ez a szócikk részben vagy egészben az Integration by parts című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
ForrásokSzerkesztés
- Evans, Lawrence C. Partial Differential Equations.. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society (1998). ISBN 0-8218-0772-2.
- Rogers, Robert C. The calculus of several variables (September 29 2011)
- Horobetz, David. Tabular Integration by Parts. The College Mathematics Journal
- https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Integration_by_parts
- Methods of Applied Mathematics (PDF) (2005)
- Finta, Zoltán. Matematikai analízis. Csíkszereda, Romania: Státus kiadó (2017). ISBN 978-606-661-059-9