Pascal-tétel

A Blaise Pascalról elnevezett Pascal-tétel klasszikus tétel a projektív síkgeometriában.

A kúpszeletbe írt ABCDEF hatszög szemben fekvő oldalai a Pascal-egyenesen metszik egymást. A Pascal-egyenes fehér.

Legyenek a kúpszeletbe írt hatszög csúcsai 1, 2, 3, 4, 5, 6 (a csúcsok a kúpszeletre illeszkednek). Ekkor az

$A=12\cap 45$

$B=23\cap 56$

$C=34\cap 61$

pontok egy egyenesre esnek.

Duálisa a Brianchon-tétel.

A Brianchon-tétel és a Pascal-tétel alkalmazásaként lehetséges kúpszelethez pontokat és érintőket csak vonalzóval szerkeszteni.

Bizonyítás

A tétel bizonyítása a kettősviszony és a sugársorok képződményének felhasználásával történik.

Jelölje X a $23\cap 45$ és Y a $34\cap 56$ pontot. Tekintsük a kúpszeletet a 2-re és a 6-ra illeszkedő sugársorok projektív képződményének. Ekkor

$\mathrm {cr} (C,Y,4,3)=\mathrm {cr} (61,65,64,63)=\mathrm {cr} (21,25,24,23)=\mathrm {cr} (A,5,4,X)$

Homogén koordinátákkal tovább számolva adódik a tétel.

Források

• H. S. M. Coxeter: Projektív geometria
• A tétel bizonyítása