A pí szám irracionális. Jelen cikk ezt az állítást bizonyítja.
Johann Heinrich Lambert (1728–1777) bizonyítása a tangensfüggvényt és a lánctörteket használja. Lényege, hogy a racionális számok tangense irracionális . A π/4 tangense 1, így π/4, tehát π sem lehet racionális.
A bizonyításhoz két lemma tartozik:
1. lemma: legyen
x
=
b
0
+
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
a
3
b
3
+
a
4
b
4
+
⋯
,
{\displaystyle x=b_{0}+{\frac {a_{1}}{\displaystyle b_{1}+{\frac {a_{2}}{\displaystyle b_{2}+{\frac {a_{3}}{\displaystyle b_{3}+{\frac {a_{4}}{b_{4}+\cdots }}}}}}}},}
a
i
{\displaystyle a_{i}}
b
i
{\displaystyle b_{i}}
relatív prímek . Ekkor, ha véges kivétellel
|
a
i
|
<
|
b
i
|
{\displaystyle |a_{i}|<|b_{i}|}
x
{\displaystyle x}
2. lemma:
x
{\displaystyle x}
t
g
(
x
)
=
x
1
−
x
2
3
−
x
2
5
−
x
2
7
−
⋯
,
{\displaystyle \mathrm {tg} (x)={\frac {x}{\displaystyle 1-{\frac {x^{2}}{\displaystyle 3-{\frac {x^{2}}{\displaystyle 5-{\frac {x^{2}}{7-\cdots }}}}}}}},}
Feltehető, hogy már az
i
=
1
{\displaystyle i=1}
|
a
i
|
<
|
b
i
|
{\displaystyle |a_{i}|<|b_{i}|}
i
{\displaystyle i}
b
i
−
1
<
b
i
+
a
i
+
1
b
i
+
1
<
b
i
+
1
{\displaystyle b_{i}-1<b_{i}+{\frac {a_{i+1}}{b_{i+1}}}<b_{i}+1}
a
i
{\displaystyle a_{i}}
b
i
{\displaystyle b_{i}}
|
b
i
+
a
i
+
1
b
i
+
1
|
>
|
a
i
|
{\displaystyle \left|b_{i}+{\frac {a_{i+1}}{b_{i+1}}}\right|>|a_{i}|}
a
i
+
1
b
i
+
1
{\displaystyle {\frac {a_{i+1}}{b_{i+1}}}}
Az előjel nem változott, ennélfogva
a
i
b
i
+
a
i
+
1
b
i
+
1
{\displaystyle {\frac {a_{i}}{\displaystyle b_{i}+{\frac {a_{i+1}}{\displaystyle b_{i+1}}}}}}
a
i
b
i
{\displaystyle {\frac {a_{i}}{b_{i}}}}
a
i
−
1
b
i
−
1
+
a
i
b
i
+
a
i
+
1
b
i
+
1
{\displaystyle {\frac {a_{i-1}}{\displaystyle b_{i-1}+{\frac {a_{i}}{\displaystyle b_{i}+{\frac {a_{i+1}}{\displaystyle b_{i+1}}}}}}}}
a
i
b
i
{\displaystyle {\frac {a_{i}}{b_{i}}}}
x
{\displaystyle x}
Az
|
x
|
=
1
{\displaystyle |x|=1}
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1}
x
{\displaystyle x}
x
=
p
q
=
a
1
b
1
+
p
1
{\displaystyle x={\frac {p}{q}}={\frac {a_{1}}{b_{1}+p_{1}}}}
ahonnan
p
1
=
q
a
1
−
p
b
1
p
=
r
p
{\displaystyle p_{1}={\frac {qa_{1}-pb_{1}}{p}}={\frac {r}{p}}}
p
1
{\displaystyle p_{1}}
x
{\displaystyle x}
|
r
|
<
|
p
|
{\displaystyle |r|<|p|}
A szinusz és a koszinusz sorfejtését felhasználva:
t
g
(
x
)
=
sin
(
x
)
cos
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
=
x
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
+
1
)
!
.
{\displaystyle \mathrm {tg} (x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}{\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}}={\frac {x}{\frac {\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}{\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n+1)!}}}}}.}
t
g
(
x
)
=
x
1
+
R
1
,
{\displaystyle \mathrm {tg} (x)={\frac {x}{1+R_{1}}},}
R
1
=
−
x
2
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
2
n
x
2
n
−
2
(
2
n
+
1
)
!
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
+
1
)
!
=
−
x
2
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
+
1
)
!
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
2
)
x
2
n
(
2
n
+
3
)
!
{\displaystyle R_{1}=-x^{2}{\frac {\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2nx^{2n-2}}{(2n+1)!}}}{\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n+1)!}}}}={\frac {-x^{2}}{\frac {\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n+1)!}}}{\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n+2)x^{2n}}{(2n+3)!}}}}}}
és hasonlóan írhatjuk, hogy
R
1
=
−
x
2
3
+
R
2
.
{\displaystyle R_{1}={-x^{2}}{3+R_{2}}.}
t
g
(
x
)
=
x
1
−
x
2
3
−
x
2
5
−
x
2
⋯
−
x
2
2
k
−
1
+
R
k
,
{\displaystyle \mathrm {tg} (x)={\frac {x}{\displaystyle 1-{\frac {x^{2}}{\displaystyle 3-{\frac {x^{2}}{\displaystyle 5-{\frac {x^{2}}{\cdots -{\frac {x^{2}}{2k-1+R_{k}}}}}}}}}}},}
a rekurziót feloldva
R
k
=
∑
n
=
0
∞
(
2
n
+
2
)
(
2
n
+
4
)
…
(
2
n
+
2
k
)
x
2
n
+
2
(
2
n
+
2
k
+
1
)
!
∑
n
=
0
∞
(
2
n
+
2
)
(
2
n
+
4
)
…
(
2
n
+
2
k
−
2
)
x
2
n
(
2
n
+
2
k
−
1
)
!
{\displaystyle R_{k}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n+2)(2n+4)\dots (2n+2k)x^{2n+2}}{(2n+2k+1)!}}}{\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n+2)(2n+4)\dots (2n+2k-2)x^{2n}}{(2n+2k-1)!}}}}}
Innen már következik, hogy
t
g
(
x
)
=
x
1
−
x
2
3
−
x
2
5
−
x
2
7
−
⋯
,
{\displaystyle \mathrm {tg} (x)={\frac {x}{\displaystyle 1-{\frac {x^{2}}{\displaystyle 3-{\frac {x^{2}}{\displaystyle 5-{\frac {x^{2}}{7-\cdots }}}}}}}},}
Még bizonyítani kellene, hogy ez a sor a tangenshez konvergál. Ehhez a számlálók és a nevezők egyenletes konvergenciáját és határértékeit kell igazolni.
