Főmenü megnyitása

A matematikában a polinom (avagy többtagú algebrai kifejezés) egy olyan kifejezés, melyben csak számok és változók nemnegatív egész kitevőjű hatványainak szorzatai, illetve ilyenek összegei szerepelnek. Például:

p(x,y,z,u) = 5x4y6 - 3xz³+11y15u7
q(x) = 2x² + 6x + 9
r(x,y) = x³ + 3x²y + 3x²y + y³

A polinomban a számokkal szorzott hatványszorzatokat monomoknak (vagy egytagúaknak) nevezzük (például p-nél az 5x4y6, a -3xz³ és a 11y15u7 tagok).

TörténetSzerkesztés

 
Az   egyenlet ábrázolása az ókori Kínában
 
Az   egyenlet ábrázolása az ókori Kínában

A polinom gyökeinek meghatározása, vagyis különféle algebrai egyenletek megoldása már régóta a matematika fontos problémái közé tartozik. A mai praktikus jelölések a 15. században kezdtek el kifejlődni, addig általában az volt a szokás, hogy egy egyenletet szavakkal írtak le vagy az ókori Kínában például a változók szerint „ábrákat” készítettek róluk.

Az egyenlőségjelet először Robert Recorde használta a 16. században, és ugyanebben az időben terjedt el a „+” jel használata az összeadásra, valamint a „−” jel használata a kivonásra. René Descartes volt az, aki elkezdte terjeszteni azt a ma is használt jelölésmódot, hogy a konstansok leírására az ábécé elejéről választunk betűket, míg a változókhoz az ábécé végéről. És ugyancsak ő volt az, aki először felső indexbe írta egy változó kitevőjét.

Az elemi algebrábanSzerkesztés

Az elemi algebrában P(x) egyváltozós polinom, ha:

 .

Itt x a polinom változója, n a polinom foka. Vannak többváltozós polinomok is, ezekben több változó szerepel. Egy többváltozós polinom foka az a legnagyobb szám, amit az egyes tagok tényezőinek kitevőinek összeadásával kapunk. Minden kitevőnek egész számnak kell lennie.

A polinom tagjaiban a számot együtthatónak, az ismeretlenekből álló szorzatot monomnak vagy egytagnak nevezik. A nulladfokú tag együtthatója konstans tag. Az elsőfokúé lineáris, a másodfokúé kvadratikus, a harmadfokúé kubikus tag. Általában ha egy változó az első hatványon szerepel, akkor nem szokták a kitevőbe kiírni az 1-et. A 0 fokú monomokat konstans polinomoknak nevezzük.

Például az

 

egy egyváltozós, harmadfokú polinom. Az x fokszáma szerint csökkenő sorrendbe írva, az első monom foka 3, a másodiké 2, a harmadiké 0. A harmadfokú tag együtthatója 8, a másodfokúé -7, a konstans tag 36.

A valós együtthatós polinomfüggvények értelmezhetők a teljes valós számegyenesen, a komplex együtthatós polinomok pedig értelmezhetők a teljes komplex számsíkon.

Nullpolinom az a polinom, aminek összes együtthatója nulla. Ennek foka mínusz végtelen. Ha a főegyüttható egy, akkor a polinom normált.

A polinom szimmetrikus, ha bárhogy cseréljük fel (permutáljuk) benne az ismeretleneket, változatlan marad.

Egy másik jellegzetes polinomfajta a homogén fokszámú polinomok, melyekben a monomok foka egyenlő. Ilyenek szerepelnek például a binomiális tételben:

 

Egyneműnek nevezünk két (vagy több) monomot, ha csak együtthatóikban különböznek. Polinomokat úgy adunk össze, hogy az egynemű egytagúak együtthatóit összeadjuk:

 

Az n ismeretlenes polinomoknak az egyneműek összevonása után legfeljebb

 

k fokú monomja lehet.

Az egynemű monomok összevonása után az n-edfokú polinomnak legfeljebb

 

monomja lehet.

A szorzás úgy történik, hogy „minden tagot minden taggal beszorzunk” és a keletkező szorzatokban az azonos változók hatványait az azonos alapú hatványok szorzásának szabályával számítjuk ki. Például

 
 
 
 

Emellett a számmal való szorzás művelete is értelmes: minden együtthatót beszorzunk az adott számmal. Például

 
 

Ha   polinomok, akkor szorzatuk fokszáma becsülhető:

 

Valós, illetve komplex polinomok esetén:

 

A polinomok halmaza zárt a helyettesítésre, azaz ha egy ismeretlenbe mindenhová polinomot helyettesítünk, akkor újra polinomot kapunk. Ez csak akkor igaz, ha a változók számát nem korlátozzuk, mert egy helyettesítés új változókat hozhat be. De ha csak a már meglevő változókat használja, akkor a változók száma megmarad.

Gyűrű fölötti polinomokSzerkesztés

 
Nulladfokú (konstans) polinom,   grafikonja az x tengellyel párhuzamos egyenes
 
Elsőfokú (lineáris) polinom,   grafikonja ferde egyenes
 
Másodfokú polinom,   grafikonja parabola

Polinomok tetszőleges gyűrű fölött definiálhatók, ekkor a polinom együtthatói a gyűrű elemei közül kerülnek ki. Ha R ez a gyűrű, akkor az egyváltozós, R-beli együtthatós polinomok körét R[X] jelöli. R[X] maga is gyűrűt alkot. Ha T test (algebra), akkor T[X] végtelen dimenziós vektorteret T felett. Ha T kommutatív test és a T[X] integritási tartományban p felbonthatatlan elem, akkor az T[X]/(p) maradékosztálygyűrű test. A középiskolában egész, racionális vagy valós együtthatós polinomokkal találkozhatunk. Az algebra alaptételében komplex együtthatós polinomokról van szó. Hasznosak még a kvaternió együtthatós (tehát lényegében mátrix együtthatójú), vagy a modulo m maradékosztálybeli együtthatós (véges testbeli) polinomok is. Ha polinomgyűrű fölött veszünk polinomgyűrűt, akkor többváltozós polinomgyűrűhöz jutunk.

A változókat néha határozatlanoknak nevezik. Az egyes monomokban a változók kitevőinek összege adja meg az adott monom fokát. A polinom fokának a benne lévő monomok fokának maximumát tekintjük.

Gyűrű fölötti polinomok esetén az összeg fokának becslésére csak akkor használható a fenti képlet, ha a gyűrű integritási tartomány. Tehát integritási tartomány fölött

 

általános esetben   a becslés. A szorzat fokának becslése ugyanaz, mint valós fölött.

A lineáris algebrában adott n-re a legfeljebb n-edfokú adott test fölötti polinomok vektorteret alkotnak, aminek dimenziója n + 1.

A mátrixok karakterisztikus polinomját többek között a mátrixok diagonalizálásához használják.

Ha R gyűrű, akkor R[X] is gyűrű, amit polinomgyűrűnek neveznek. Ez megkapható úgy, mint R bővítése algebrailag független elemmel. A polinomokat egyértelműen lehet jellemezni együtthatóik véges sorozatával, ahol az összeadás tagonkénti összeadás, a szorzat konvolúció, és a konstanssal (gyűrűelemmel) való szorzás is tagonként kell végezni.

 

és

 

Ezzel a polinomgyűrű algebrát alkot. Habár ez a konstrukció nem használja a határozatlant, a behelyettesítés is értelmezhető műveletként. Ezzel behelyettesítési homomorfizmushoz jutunk. Ha az alapgyűrű kommutatív, egységelemes, nullosztómentes, akkor a polinomgyűrű is kommutatív, egységelemes, nullosztómentes lesz.[1]

Különböző polinomok definiálhatják ugyanazt a polinomfüggvény, különösen ha vannak nullosztók, vagy ha a test véges. Például legyen   a   maradékosztálygyűrű, így az  

  és a   polinomok ugyanazt a függvényt állítják elő. Végtelen integritástartomány esetén ez nem fordulhat elő.

SzámelméletükSzerkesztés

PolinomfüggvényekSzerkesztés

 
Harmadfokú polinom,    grafikonja
 
Negyedfokú polinom,    grafikonja

Ha R[X] az R gyűrű feletti polinomgyűrű és p = p(x) polinom, akkor a p által meghatározott polinomfüggvényen a

 

függvényt értjük.

Példák:

1. a komplex számok feletti q(z) = iz4 + 3iz - 5 polinom által meghatározott polinomfüggvény a

g: C   C; z   iz4 + 3iz - 5

függvény

2. a modulo 5 maradékosztályok feletti r(x) = x4 polinom által meghatározott polinomfüggvény a

h: Z5   Z5; x   x4

Véges gyűrű feletti polinomfüggvény nem jelöli ki egyértelműen azt a polinomot, melyből a polinomfüggvény keletkezett. A 2. példánál h nem más, mint a

 

függvény éspedig a kis Fermat-tétel miatt. De ez ugyanaz, mint a h2(x)= x8 polinomfüggvény, amely azonban más polinom által meghatározott. S míg x4   x8 (mint polinom), addig h1 = h2, mint függvény. Ez amiatt van, hogy míg polinomból végtelen sok van, addig R-ből R-be menő függvényből csak nn db, amennyiben R számossága az n véges szám.

Helyettesítési érték, zérushely, gyökSzerkesztés

Ha pR[X] polinom és α ∈ R, akkor azt mondjuk, hogy p helyettesítési értéke α-ban a β ∈ R elem, ha a p által meghatározott polinomfüggvény α-n a β-t veszi föl értékül. Ezt a következőképpen jelöljük:

 

Ha p osztható az (x - α) elsőfokú polinommal, azaz létezik olyan qR[X] polinom, hogy

 

akkor azt mondjuk, hogy α ∈ R elem gyöke a p polinomnak és hogy (x-α) gyöktényezője p-nek.

Az x0R elem zérushelye a p polinomnak, ha x0-ben a p helyettesítési értéke 0.

Bézout tétele – A pR[X] polinomnak az α ∈ R elem pontosan akkor gyöke, ha zérushelye.

Test fölött nemnulla polinom gyökeinek száma legfeljebb annyi, mint a fokszáma. A komplex számok körében, vagy más algebrailag zárt test fölött ezen kívül még az is igaz, hogy egy nemkonstans polinomnak pontosan annyi gyöke van (a multiplicitással számolva) ahányadfokú a polinom. Ez az algebra alaptétele.

A (multiplicitással számolva) pontosan n gyökű n-edfokú polinomok felírhatók ún. gyöktényezős alakban:

 

A jobb oldali alakban   a polinom főegyütthatójának,   pedig a polinom gyökeinek felelnek meg. Végtelen gyűrű fölött teljesül a kölcsönös meghatározottság.

Gyökök meghatározása, becsléseSzerkesztés

Egész együtthatós polinom racionális gyökeinek meghatározásában segít a Rolle-féle gyöktétel. A jelöltek az x=p/q alakú racionális számok, ahol p és q relatív prímek, és p osztója a konstans tagnak, és q osztója a főegyütthatónak. Alacsony fokú, legfeljebb negyedfokú polinomok gyökei gyökjelekkel meghatározhatók (lásd megoldóképlet). Magasabb fokú polinomok nem oldhatók meg gyökjelekkel, ez az Abel-Ruffini-tétel.

A páratlan fokú valós együtthatós polinomoknak van legalább egy valós gyökük.

Az együtthatók és a fok alapján a gyökökre valós és komplex esetben is becslést lehet adni. Valós esetben a   gyökkorlát, ha a polinom összes gyöke a   intervallumban található, vagyis a gyökök abszolút értéke nem nagyobb B-nél. B felső gyökkorlát, ha a polinom minden gyöke legfeljebb B. Hasonlóan definiálható az alsó gyökkorlát is.

A korlátokat normált, azaz 1 főegyütthatójú polinomokra adják meg; azonban mivel a nullától különböző konstanssal való szorzás (nullosztómentes esetben) nem változtatja meg a gyököket, a gyökök becsléséhez végig lehet osztani a főegyütthatóval. Legyen ekkor   a negatív együtthatók halmaza. Ennek méretét a továbbiakban   jelöli.

  • Cauchy-szabály: egy felső gyökkorlát,  
  • Newton-szabály: egy felső gyökkorlát,  
  • Lagrange és Maclaurin szabálya: egy felső gyökkorlát,  , ahol   a legnagyobb abszolút értékű negatív együttható abszolút értéke, és   a legmagasabb kitevős negatív együttható kitevője.
  • Minden  , amire teljesül, hogy  , gyökkorlát, ami a komplex gyökök abszolút értékét is behatárolja. Ennek speciális esetei Gerschgorin tételei:
    •   és
    •  .

Komplex gyökkorlátok esetén is a gyökök abszolútértékét határolják be. B komplex gyökkorlát, ha a polinom gyökei a nulla középpontú, B sugarú körben helyezkednek el. Egyes alkalmazásokban néhány, adott számú gyökre is értelmeznek gyökkorlátot.

Komplex gyökkorlát minden  , amire   teljesül. Ekkor a nulla körüli, B sugarú kör pontosan k gyököt tartalmaz. Az egyenlet mindig megoldható   esetén, de a közbenső számokra nem biztos. Ez Rouché tételének következménye.   esetén a fent már említett egyenlet adódik. A   eset egy gyököktől mentes körlapot ad. Ekkor   a reciprok polinom gyökkorlátja. Ha f polinom, akkor reciprok polinomja  .

Helyettesítési érték kiszámítása: a Horner-módszerSzerkesztés

A gyökök meghatározása magasabb fok és irracionális gyökök esetén nem egyszerű; a Newton-módszerrel becsülhetők. Azt meghatározni azonban, hogy egy komplex szám gyöke-e egy adott polinomnak, létezik egy módszer, amit William George Horner angol matematikus dolgozott ki. A Horner-elrendezés arra is alkalmas, hogy segítsen a Newton-módszernek a polinom összes gyökének becslésében.

A módszer működésének megértéséhez vegyük észre, hogy a polinomok a következő alakban is felírhatók:

 

Tehát egy   komplex számról úgy tudjuk meg, hogy gyöke-e lesz-e a polinomunknak, hogy megnézzük a helyettesítési értékét az előző képlet szerint:

 

A módszer lényeges eleme az ún. Horner-séma lesz, azaz hogy ezt a fenti egyenletet táblázatba rendezzük azért, hogy a számolást meg tudjuk gyorsítani:

         
           

A fölső sorban a polinom együtthatói állnak. Az alsó sor első eleme a főegyüttható lesz, majd a következő tagokat úgy képezzük, hogy az előző tagot megszorozzuk  -val majd hozzáadjuk a soron következő együtthatót. Így tehát az alsó sor elemei megfelelnek a fenti képlet egyes zárójeleinek, tehát végül   alatt   helyettesítési értéke áll.

Megjegyzések:

  1. A Horner-séma második sorában szereplő számok éppen az  –val vett polinomosztás hányadosának együtthatói. Azaz ha egy gyököt megtaláltunk, szorzattá bonthatjuk a polinomunkat és az így kapott újabb polinomnak egy gyökét is próbálhatjuk megkeresni. Ezzel a módszerrel továbbhaladva eljuthatunk a polinom gyöktényezős alakjához.
  2. Ha   helyettesítési értékére nem 0 jön ki akkor a kapott érték lesz az osztásunk maradéka.

Például vizsgáljuk meg, hogy a következő polinomnak gyöke-e a 3:

 

A feladathoz tartozó Horner-séma:

1 -5 11 -15
3 1 3 1-5=-2 3 (-2)+11=5 3 5-15=0

Tehát a 3 gyöke a polinomnak és az   polinommal való leosztás után szintén a táblázatból leolvasva kapjuk, hogy a hányadospolinom az   lesz.

Gyökök és együtthatók közötti összefüggésekSzerkesztés

Legyenek a polinom együtthatói: , a gyökei pedig:  . Ekkor a polinom gyökei és együtthatói között a következő összefüggések állnak fenn:

 
 
 
 
 

Ezeket az összefüggéseket Viète-formuláknak nevezzük. Előállításuk úgy történik, hogy   gyöktényezős alakjában elvégezzük a beszorzást és összevetjük az így kapott együtthatókat az általános felírásból adódókkal.

Másodfokú polinomokra így kapjuk meg a formulákat:

 

 

Ezekből adódik tehát hogy:

  és  

AnalízisSzerkesztés

A polinomok egyszerűen deriválhatók és integrálhatók:

 
deriváltja
 
egy primtív függvénye
 

Ezek a műveletek sem vezetnek ki a polinomok közül.

Más függvények közelíthetők polinomokkal, például Taylor-sorral, interpolációval, Bernstein-polinomokkal.

A valós és a komplex polinomok hatványok lineáris kombinációi, ezért lassabban nőnek, mint bármely exponenciális függvény, aminek kitevője egynél nagyobb.

A páratlan fokú valós polinomok értékkészlete  , azaz szürjektívek. Ha a főegyüttható pozitív, akkor  -ből jönnek, majd ingadoznak egy szakaszon, utána  -be mennek. Ha a főegyüttható negatív, akkor  -ből jönnek, ingadoznak egy szakaszon, majd  -be mennek.

A páros fokú polinomok értékkészlete pozitív főegyütthatóval  , és negatív főegyütthatóval  . Menetük: pozitív főegyütthatóval  -ből érkeznek, ingadoznak egy szakaszon, majd  -be mennek. Negatív főegyütthatóval  --ből jönnek, ingadoznak egy szakaszon, majd  -be mennek.

A polinomok végtelen sorok formájában függvények közelítésénél is használatosak. Ekkor a függvényeket Taylor-sorba fejtve kapunk hozzájuk határértékben tartó hatványsorokat. Ha ezeknek a végtelen soroknak csak véges alakjait tekintjük, akkor beszélünk Taylor-polinomokról.

Két a racionális számok teste feletti polinom hányadosát racionális függvénynek vagy racionális törtfüggvénynek hívjuk. Ezeknek az integrálása az integrálszámítás egyik alapváltozata. A művelet elvégzéséhez a parciális törtekre bontás módszerét szükséges alkalmazni.

InterpolációSzerkesztés

Az interpoláció módszerének segítségével   különböző komplex számpárra, vagyis   pontra a komplex számsíkon egyértelműen illeszthető (n–1)-edfokú polinom, amely áthalad a megadott pontokon.

BizonyításSzerkesztés

Legyenek az adott pontpárok a következők:  . Először az egyértelműséget igazoljuk. Ha   és   két a feltételeknek eleget tevő polinom, akkor   egy olyan legfeljebb ( )-ed fokú polinom, amelynek   gyöke. Az algebra alaptétele szerint ez csak akkor lehetséges, ha  , vagyis  .

Most konstruáljunk meg egy ilyen polinomot Lagrange módszerével. Ehhez konstruáljuk meg az ún. Lagrange-féle alappolinomokat:

 

Ezekre   és  , ha  .

Tehát a   polinom teljesíti a feltételeket.

PéldaSzerkesztés

Legyenek a pontok a következők: (-1;1), (0;2), (1;4); ekkor ezek lesznek a Lagrange-féle alappolinomok:

 

 

 

Ekkor a feltételeket kielégítő polinom ez lesz:

 

ÁltalánosításokSzerkesztés

A hatványsorok alakja:

 

Ha nem foglalkozunk a konvergenciával, akkor a hatványsor formális, ami nem mindig állít elő függvényt. Ha egy bizonyos tartományon (nemcsak egy pontban) konvergens, és előállítja a függvényt, akkor egy analitikus függvényhez jutunk, amit újra vizsgálni lehet.

A Laurent-sorok alakja:

 

A Laurent-sorok a hatványsorokhoz hasonlóan vizsgálhatók.

Ha az összeg véges, de a monomokban tetszőleges valós hatványkitevőket megengedünk, akkor poszinomiális függvényekhez jutunk.

JegyzetekSzerkesztés

  1. compalg.inf.elte.hu/~zslang/Polinom1sima.ppt

ForrásokSzerkesztés

A Wikimédia Commons tartalmaz Polinom témájú médiaállományokat.
  • Horváth Erzsébet: Lineáris algebra (Műegyetemi Kiadó, 2002)
  • Konsztantyin Alekszejevics Ribnyikov: A matematika története (Tankönyvkiadó, Budapest, 1968)
  • Nagy Attila (BME-TTK) Lineáris algebra c. előadásai
  • Beutelspacher: Lineare Algebra. 6. Auflage.
  • Holz, Wille: Repetitorium der Linearen Algebra, Teil 2.
  • Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra.

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Polynom című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.