Főmenü megnyitása

Praktikus számok

olyan pozitív egész szám, melynek valamely osztói összegével kifejezhető az összes nála kisebb pozitív egész szám

A számelmélet területén egy pozitív egész szám akkor tartozik a praktikus számok vagy pánaritmikus számok[1] közé, ha egymástól különböző osztóinak összegével az összes nála kisebb pozitív egész szám kifejezhető. Például a 12 praktikus szám, mert 1-től 11-ig a számok kifejezhetők 12 osztóinak, tehát az 1, 2, 3, 4, 6 összegeként (beleértve magukat az osztókat): 5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1 és 11 = 6 + 3 + 2.

A praktikus számok sorozata (A005153 sorozat az OEIS-ben) így kezdődik:

1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 104, 108, 112, 120, 126, 128, 132, 140, 144, 150....

A praktikus számok megjelentek Fibonacci 1202-ben íródott Liber Abaci-jében, racionális számok egyiptomi törtekkel való kifejezésével kapcsolatban. Fibonacci formálisan nem definiálta a praktikus számok fogalmát, de táblázatában megjelennek a praktikus nevezőjű törtek egyiptomi törtekkel való kifejezései.[2]

Maga a „praktikus szám” kifejezés (Srinivasan 1948)-nak köszönhető, aki először próbálta meg osztályozni ezeket a számokat, amit aztán (Stewart 1954) és (Sierpiński 1955) fejezett be. Karakterizációjuk alapján egyszerűen eldönthető egy szám praktikussága prímtényezős felbontásuk alapján. Minden páros tökéletes szám és minden kettőhatvány is praktikus szám.

A praktikus számok több jellemzőjük alapján analógiát mutatnak a prímszámokkal.[3]

A praktikus számok karakterizációjaSzerkesztés

Ahogy (Stewart 1954) és (Sierpiński 1955) megmutatták, egy szám praktikus volta egyszerűen eldönthető prímfelbontása alapján. Legyen   pozitív egész szám prímtényezős felbontása   (ahol a prímek sorba vannak rendezve,  ); ebben az esetben   akkor és csak akkor praktikus szám, ha minden   prímtényezője kellően kicsi ahhoz, hogy   kifejezhető legyen a kisebb osztók összegeként. Ahhoz, hogy ez teljesüljön, az első   prímnek 2-nek kell lennie, és minden i-re 2 és k között, minden további  -nek teljesítenie kell a következő egyenlőtlenséget:

 

ahol   jelöli x osztóinak összegét. Például 2 × 3² × 29 × 823 = 429606 praktikus szám, mivel a fenti egyenlőtlenség igaz mindegyik prímtényezőjére: 3 ≤ σ(2)+1 = 4, 29 ≤ σ(2 × 3²)+1 = 40 és 823 ≤ σ(2 × 3² × 29)+1=1171. Ez a karakterizáció kiterjeszti (Srinivasan 1948) részleges klasszifikációját.

A fenti feltétel szükséges és elégséges feltétele annak, hogy egy szám praktikus legyen. Egyrészt, a feltétel szükséges ahhoz, hogy a   kifejezhető legyen n osztóinak összegeként, mivel ha az egyenlőtlenség nem teljesül, akkor az összes kisebb osztót összeadva sem érné el az összeg a  -et. Másrészt, a feltétel elégséges is, ami indukcióval megmutatható.

Ennél jóval erősebb állítást fogunk bizonyítani: ha n prímtényezős felbontása kielégíti a fenti feltételeket, akkor bármely   kifejezhető n osztóinak összegeként, a következő lépésekben:

  • Legyen   és legyen  .
  • Mivel   és   indukcióval igazolhatóan praktikus számok, ezért q kifejezhető   osztóösszegeként.
  • Mivel  , és mivel   indukcióval igazolhatóan praktikus, r felírható   osztóinak összegeként.
  • Az r-et reprezentáló osztók, együtt  -szor a q-t reprezentáló minden egyes osztóval együtt alkotják m reprezentációját mint n osztóinak összege.

TulajdonságaikSzerkesztés

  • Az egyetlen páratlan praktikus szám az 1, mivel ha n > 2 páratlan szám, akkor 2 nem fejezhető ki n osztóinak összegeként. Ennél erősebb (Srinivasan 1948) megfigyelése, miszerint 1 és 2 kivételével minden praktikus szám osztható 4-gyel és/vagy 6-tal.
  • Két praktikus szám szorzata is praktikus szám.[4] Ennél erősebb kitétel, hogy bármely két praktikus szám legkisebb közös többszöröse is praktikus szám.
  • A praktikus számok halmaza szorzásra nézve zárt.
  • Stewart és Sierpiński fenti karakterizációjából látható az is, hogy ha n praktikus szám, aminek d az egyik osztója, akkor n·d is praktikus szám.
  • A praktikus számok közül megkülönböztethetjük a primitív praktikus számokat. A primitív praktikus számok olyan praktikus számok, melyek vagy négyzetmentes számok, vagy elosztva valamely 1-nél nagyobb kitevőjű prímosztójukkal a hányados már nem ad praktikus számot. A primitív praktikus számok sorozata (A267124 sorozat az OEIS-ben) így kezdődik:
1, 2, 6, 20, 28, 30, 42, 66, 78, 88, 104, 140, 204, 210, 220, 228, 260, 272, 276, 304, 306, 308, 330, 340, 342, 348, 364, 368, 380, 390, 414, 460...

Kapcsolatuk más számcsoportokkalSzerkesztés

Számos említésre méltó egész számhalmaz létezik, ami kizárólag praktikus számokból áll:

  • Abból, hogy ha n praktikus szám, aminek d az egyik osztója, akkor n·d is praktikus szám, következik, hogy 2 és 3 minden hatványának hatszorosa is praktikus szám.
  • Minden kettőhatvány praktikus szám.[5] Kettő hatványai triviálisan kielégítik a prímfelbontási követelményeket: a prímtényezős felbontásukban egyedül szereplő p1 a feltételek szerint megegyezik kettővel.
  • Minden páros tökéletes szám is praktikus szám.[5] Ez következik Leonhard Euler eredményéből, miszerint minden páros tökéletes szám felírható 2n − 1(2n − 1) alakban. A felbontás páratlan része megegyezik a páros rész osztóösszegével, így minden ilyen szám páratlan prímosztója legfeljebb a páros rész osztóösszege lehet. Ezért a szám kielégíti a praktikus számok követelményeit.
  • Minden primoriális (az első valahány prímszám szorzata) praktikus szám.[5] Az első két primoriálisra, 2-re és 6-ra ez egyértelmű. A többi primoriálist úgy képezzük, hogy egy pi prímszámot összeszorzunk egy kisebb primoriálissal, ami osztható 2-vel és a következő legkisebb prímszámmal, pi − 1-gyel. A Bertrand-posztulátum alapján pi < 2pi − 1, tehát a primoriális minden rákövetkező prímtényezője kisebb az előző primoriális valamely osztójánál. Indukcióval belátható, hogy minden primoriális megfelel a praktikus számok karakterizációjának.
  • A primoriálisokat általánosítva, bármely szám, ami az első k prímszám nemnulla hatványának szorzatából áll elő, szintén praktikus szám. Ebbe beletartoznak a Rámánudzsan által definiált erősen összetett számok (számok, melyeknek több osztójuk van a náluk kisebb összes számnál) és a faktoriális számok is.[5]

Praktikus számok és egyiptomi törtekSzerkesztés

Ha n praktikus szám, akkor bármely m/n alakú racionális szám kifejezhető a ∑di/n összeggel, ahol minden di az n-nek különböző osztója. Az összeg minden tagja egységtörtté egyszerűsíthető, ezért az összeg megfelel m/n egyiptomi törtként való kifejezésének. Például:

 

Fibonacci 1202-es Liber Abaci-jében[2] számos módszert ír le racionális számok egyiptomi törtként való felírására. Ezek közül az első annak vizsgálata, hogy a szám esetleg máris egységtört, de a másodikban megkísérli kifejezni a számlálót a nevező osztóinak összegeként; ez a módszer csak akkor ad garantáltan eredményt, ha a nevező praktikus szám. Fibonacci táblázatokat készített az olyan törtekhez, ahol a számláló a 6, 8, 12, 20, 24, 60 és 100 praktikus számok egyike.

(Vose 1985) megmutatta, hogy minden x/y alakú szám kifejezhető legfeljebb   tagból álló egyiptomi tört alakban. A bizonyítás részeként praktikus számok ni sorozatát keressük azzal a tulajdonsággal, hogy minden ni-nél kisebb szám felírható az ni szám   különböző osztójának összegeként. Ekkor úgy választjuk meg i-t, hogy ni − 1 < y ≤ ni és xni-t y-nal elosztva q-t kapunk r maradékkal. Az előző választásainkból következik, hogy  . A jobb oldal számlálóit kibontva ni osztóösszegeinek alakjába megkapjuk a kívánt egyiptomi tört-alakot. (Tenenbaum & Yokota 1990) hasonló technikát alkalmaz, de praktikus számok egy másik sorozatát használja annak megmutatására, hogy minden x/y alakú szám felírható egyiptomi tört alakban oly módon, hogy a legnagyobb nevező  .

Szun Cse-vej 2015. szeptemberi sejtése szerint[6] bármely pozitív racionális szám felírható véges számú praktikus szám reciprokösszegeként, tehát olyan egyiptomi törtkifejezésként, ahol minden nevező praktikus szám. A sejtés bizonyítása David Eppstein blogján olvasható.[7]

Prímszámokkal való analógiákSzerkesztés

A praktikus számok iránti érdeklődés egyik oka, hogy számos tulajdonságukban hasonlítanak a prímszámokra. Valóban, léteznek a Goldbach-sejtésnek és az ikerprím-sejtésnek analógiái praktikus számokra nézve: minden pozitív egész szám felírható két praktikus szám összegeként, illetve végtelen számú x − 2, xx + 2 alakú praktikusszám-triplet létezik.[8] Melfi megmutatta, hogy végtelen számú praktikus Fibonacci-szám létezik (A124105 sorozat az OEIS-ben); az analóg kérdés, hogy létezik-e végtelen számú Fibonacci-prím, még eldöntetlen. (Hausman & Shapiro 1984) megmutatta, hogy bármely pozitív valós x-re létezik praktikus szám az [x²,(x + 1)²] intervallumban, ami analóg a prímszámokra vonatkozó Legendre-sejtéssel.

Jelölje p(x) a legfeljebb x nagyságú praktikus számok számát. (Margenstern 1991) sejtése szerint p(x) aszimptotikusan egyenlő cx/log x-szel valamely c konstansra, ami a prímszámtételre emlékeztető képlet. A képlet megerősíti (Erdős & Loxton 1979) sejtését, miszerint a praktikus számok zéró sűrűséggel helyezkednek el az egészek között. (Saias 1997) bizonyította, hogy megfelelő c1 és c2 konstansokra:

 

Végül (Weingartner 2015) bizonyította Margenstern sejtését, megmutatva, hogy

 

ha   és a konstans  .

Egyéb sejtésekSzerkesztés

Szun Cse-vej 2013-as sejtése szerint az   (n = 3, 4,...) sorozat szigorúan monoton csökkenő, határértéke 1.

Szun Cse-vej 2015-ös sejtése szerint bármely r pozitív racionális számhoz léteznek olyan, páronként különböző q(1)..q(k) praktikus számok, melyekre igaz, hogy  
Például 2 = 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12, ahol 1, 2, 4, 6 és 12 praktikus számok, vagy 10/11 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/48 + 1/132 + 1/176, ahol 2, 4, 8, 48, 132 és 176 praktikus számok.

JegyzetekSzerkesztés

  1. (Margenstern 1991) idézi (Robinson 1979) és (Heyworth 1980)-t a pánaritmikus számok kifejezések terén.
  2. a b (Sigler 2002).
  3. (Hausman & Shapiro 1984); (Margenstern 1991); (Melfi 1996); (Saias 1997).
  4. Margenstern,1991
  5. a b c d (Srinivasan 1948).
  6. A Conjecture on Unit Fractions Involving Primes
  7. 0xDE: Egyptian fractions with practical denominators. [2017. március 22-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2016. november 22.)
  8. (Melfi 1996).

IrodalomSzerkesztés

További információkSzerkesztés