Határozatlan integrál

(Primitív függvény szócikkből átirányítva)
Ez a közzétett változat, ellenőrizve: 2024. október 20.

A matematikában, ezen belül az analízis területén, az antiderivált, primitív függvény, vagy más néven határozatlan integrál, az integrálszámítás egyik legfontosabb fogalma. Egy függvény antideriváltja egy olyan függvény, melynek deriváltja egyenlő függvénnyel, gyakori jelölés szerint . A primitív függvény, ha létezik, mint függvény, sosem egyértelmű (innen ered a „határozatlan” integrál elnevezés); egyes szerzők az antideriváltat így függvények egy bizonyos halmazának tekintik.

Az eljárást (a konkrét számítási módszertől eltekintve), amikor kiszámítjuk egy függvény antideriváltját, határozatlan integrálásnak is hívják, azonban magyar nyelvterületen sokkal használatosabb az antideriváltra a „primitív függvény” elnevezés („primitív” = eredeti, megelőző).[1][2]

A határozatlan integrálás (antiderivált) szorosan kapcsolódik a határozott integrálhoz a Newton–Leibniz-tételen keresztül (amelyet néha az analízis alaptételének is neveznek), miszerint egy intervallumban egy függvény határozott integrálja egyenlő a primitív függvényeknek (antideriváltaknak) az intervallum végpontjain felvett értékeinek különbségével.

A primitív függvény meghatározása történhet elemi függvények integráljának ismeretével, geometriai módszerekkel, számítást leegyszerűsítő módszerekkel, viszont egy tetszőleges függvény antideriváltjának kiszámítása van, hogy csak közelítő módszerek alkalmazásával lehetséges.

Bevezető példák

szerkesztés
 
Az   függvény néhány lehetséges eltolása különböző   konstansokra.

Az   függvény az   egyik antideriváltja, mivel az   az   deriváltja. Mivel a konstans függvény deriváltja nulla, így bármilyen tetszőleges konstans hozzáadható  -hez, ugyanúgy   antideriváltja marad. Ezt a tetszőleges konstanst integrálási konstansnak hívjuk és általában  -vel jelöljük, így   bármelyik antideriváltja leírható az   formában. Egy koordinátarendszerben ábrázolva az antideriváltak egymás függőleges irányba történő eltolásai, az eltolás nagysága pedig  -től függ.

Fizikában, a gyorsulásfüggvény idő szerinti integrálja a sebességfüggvény. Ebben az esetben az integrálási konstans a kezdeti sebesség, melynek idő szerinti deriváltja (mivel konstans) nulla, így az nincs hatással a gyorsulásra. Ugyanez a módszer érvényes a mozgást leíró többi mennyiségre is, így az integrálás szerves kapcsolatot hoz létre a gyorsulás, a sebesség és az elmozdulás között.

Tulajdonságok

szerkesztés

Az antideriváltak a határozott integrálok számításánál hasznosan felhasználhatók, alkalmazva a Newton–Leibniz-tételt: ha   egy integrálható   függvény antideriváltja, akkor:

 

Ezért az adott   függvény végtelenül sok antideriváltját néha   "határozatlan integráljának" is hívják, és határok nélküli integráljellel jelölik:

 

Ha   az   egy tetszőleges intervallumon definiált függvény egyik antideriváltja, akkor   bármely   antideriváltja  -től csupán egy konstansban különbözik. Így létezik egy   konstans úgy, hogy:  . Az integrálási konstans   a határozott integrálás során nulla lesz, így az integrál Newton–Leibniz-formulával való kiszámításakor bármely primitív függvényt használhatjuk, vagyis   értéke tetszőleges lehet. Ha   értelmezési tartománya kettő vagy több (nyílt) intervallum diszjunkt uniója, akkor különböző konstansok választhatók minden egyes intervallumra. Például:

 

A fenti függvények adják az   függvény legáltalánosabb antideriváltját a   értelmezési tartományban.

Minden   folytonos függvénynek van antideriváltja; egy   antiderivált meghatározható az   függvény határozott integráljával, a felső integrálási határ variálásával:

 

bármely  -ra a függvény értelmezési tartományában. Az alsó határ változtatásával további antideriváltakat kapunk (de nem szükségszerűen az összeset). Ez egy másik formája a Newton–Leibniz-tételnek.

Számos függvénynek létezik antideriváltja, melyet nem lehet kifejezni elemi függvényként (mint például polinomok, exponenciális függvények, logaritmusok, trigonometrikus függvények és ezek kombinációi). Ilyen antideriváltak például:

 

Integrálási technikák

szerkesztés

Elemi függvények antideriváltjainak megtalálása nehezebb feladat, mint a deriváltjainak megtalálása (kiszámítása). Néhány elemi függvény antideriváltjait lehetetlen megtalálni más elemi függvények segítségével.

Néhány módszer azonban rendelkezésre áll:

 

Nem folytonos függvények antideriváltjai

szerkesztés

Nem folytonos függvényeknek is lehetnek antideriváltjaik. Miközben vannak még nyílt kérdések ezen a területen, azt tudjuk, hogy:

  • néhány patologikus függvénynek, melyeknek számos nem-folytonos tartománya van, is lehet antideriváltja
  • néhány esetben ezen függvények antideriváltját akár Riemann-integrálással is meg lehet találni, viszont létezik olyan patologikus függvény, mely nem Riemann-integrálható

Tegyük fel, hogy a függvények értelmezési tartományai nyílt intervallumok:

  • szükséges, de nem elégséges feltétel, hogy egy függvénynek antideriváltja legyen, az, hogy teljesüljön rá a Bolzano-tétel: ha   függvény értelmezési tartományának   egy részintervalluma, és   bármely valós szám   és   között, akkor létezik egy olyan   valós szám   és   között, melyre teljesül  .
Ahhoz, hogy ezt lássuk, legyen   antideriváltja  , és definiáljuk a folytonos   függvényt egy zárt   intervallumban. Ekkor  -nek vagy maximuma, vagy minimuma   a nyílt   intervallumban, és így  .
  • Az   függvény diszkontinuitásának egy első kategóriájú halmaznak kell lennie. Ennek a halmaznak továbbá F-sigma halmaznak (tehát zárt halmazok megszámlálható uniójának) is lennie kell (mivel bármely függvény diszkontinuitási halmaza F-sigma). Továbbá, bármely első kategóriájú F-sigma halmazra előállítható egy f függvény, melynek létezik antideriváltja, diszkontinuitásainak halmaza pedig az adott halmaz.
  • Ha  -nek van antideriváltja, az értelmezési tartományának egy zárt véges részintervallumában korlátos és a diszkontinuitások halmazának Lebesgue-mértéke 0, akkor az antiderivált Lebesgue-integrálással megtalálható.
  • Ha  -nek egy zárt   intervallumon létezik egy   antideriváltja, akkor bármely   partícióra ha kiválasztunk a Lagrange-féle középértéktétel által meghatározott   pontokat, akkor a megfelelő Riemann-összeg 'teleszkópol' az   értékhez.
 
Azonban, ha   nem korlátos, vagy   korlátos, de a diszkontinuitásainak halmazának Lebesgue-mértéke pozitív, különbözően választott   pontok jelentősen más értéket adhatnak a Riemann-összegre, függetlenül attól, milyen sűrű a partíció.
  1. Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals, 6. kiadás, Brooks/Cole (2008). ISBN 0-495-01166-5 
  2. Larson,Ron; Edwards, Bruce H.. Calculus, 9. kiadás, Brooks/Cole (2009). ISBN 0-547-16702-4 

Fordítás

szerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben az Antiderivative című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

  • Karl R. Stromberg: Introduction to Classical Real Analysis. (hely nélkül): Wadsworth. 1981.  
  • Stewart, James: Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). (hely nélkül): Brooks/Cole. 2008. ISBN 0-547-16702-4  
  • Reiman istván: Matematika. (hely nélkül): Typotex Kft. 2011. ISBN 9789632793009  
  • Gerőcs L.-Dr.Vancsó Ödön: Matematika. (hely nélkül): Akadémia Kiadó Zrt. 2010. ISBN 9789630584883  

Kapcsolódó szócikkek

szerkesztés