Projektor mátrix

A projektor mátrix vagy idempotens mátrix egy olyan négyzetes mátrix, amelynek minden sajátértéke 0 vagy 1. Minden n×n-es projektor mátrixnak van n darab lineárisan független sajátvektora. Ha egy n×n-es projektor mátrix rangja n, akkor az az egységmátrix. Négyzetre (és ebből következően bármilyen hatványra) emelve önmagát eredményezi.

Példák

2×2-es idempotens mátrixok:

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}3&-6\\1&-2\end{pmatrix}}$

Egy 3×3-as idempotens mátrix:

${\begin{pmatrix}2&-2&-4\\-1&3&4\\1&-2&-3\end{pmatrix}}$

A 2×2-es eset

Ha az ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ mátrix idempotens, akkor ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$. Ebből következik, hogy

• $a=a^{2}+bc$,
• $b=ab+bd$, azaz $b(1-a-d)=0$, tehát $b=0$ vagy $d=1-a$,
• $c=ca+cd$, azaz $c(1-a-d)=0$, tehát $c=0$ vagy $d=1-a$, és
• $d=bc+d^{2}$.

Egy 2×2-es mátrix tehát akkor idempotens, ha vagy diagonális mátrix, vagy pedig nyoma 1. Megjegyzendő, hogy az idempotens diagonális mátrix esetében az a és a d értéke 1 vagy 0.

Speciálisan

Ha b = c, akkor az ${\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}$ mátrix idempotens lesz, feltéve ha $a^{2}+b^{2}=a$, vagyis az (a, b) számpár kielégíti a következő másodfokú egyenletet:

$a^{2}-a+b^{2}=0$, vagy $(a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}$,

ami egy olyan kör egyenlete, amely középpontjának a koordinátái (${\tfrac {1}{2}}$, 0) és a sugara ${\tfrac {1}{2}}$. Az (a, b) koordinátájú pontok e kör pontjai. A θ szög mint paraméter függvényében kifejezve

$a={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\cos \theta$,

$b={\tfrac {1}{2}}\sin \theta$, és az

$M={\tfrac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1-\cos \theta \end{pmatrix}}$ mátrix idempotens.

A b = c nem egy feltétel,

bármelyik ${\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}$ mátrix, ahol $a^{2}+bc=a$ fennáll, idempotens, így például a fentebb említett ${\begin{pmatrix}3&-6\\1&-2\end{pmatrix}}$ is az.

Tulajdonságok

Az egységmátrix kivételével az idempotens mátrixok nem invertálható (szinguláris) mátrixok. Valóban, ha $M$ invertálható idempotens mátrix, akkor $MM=M$, ahonnan mindkét oldalt balról $M^{-1}$-zel szorozva $M=IM=M^{-1}MM=M^{-1}M=I$ adódik. Nem-triviális idempotens mátrixokban tehát a független sorok (és oszlopok) száma kisebb mint a sorok (és oszlopok) száma.

Ha az idempotens mátrixot kivonjuk az egységmátrixból, az eredmény egy szintén idempotens mátrix lesz, a következők szerint: [I − M][I − M] = I − M − M + M² = I − M − M + M = I − M.

Az $A$ mátrix idempotens akkor és csak is akkor, ha bármilyen pozitív n számnál $A^{n}=A$. Az „akkor” feltétel következik abból ha $n=2$. A „csak is akkor” feltételt matematikai indukcióval lehet bizonyítani. Az $n=1$ esetében világos, hogy $A^{1}=A$. Feltételezve hogy $A^{k-1}=A$, akkor $A^{k}=A^{k-1}A=AA=A$ megfelel a követelménynek. Az indukciót alkalmazva az eredmény nyilvánvaló.

Egy idempotens mátrix mindig átlósítható és a sajátértékei 0 vagy 1. Egy idempotens mátrix nyoma (főátlójában lévő elemek összege) egyenlő a mátrix rangjával és az mindig egész szám. Ez egyszerűvé teszi egy olyan mátrix rangjának illetve a nyomának megállapítását aminek az elemei nem ismertek, ami a nagy segítséget nyújt különböző ökonometriai és valószínűség (Variancia) számításoknál.

Alkalmazások

Az idempotens mátrixok gyakran előfordulnak a regressziószámításban és az ökonometriában. Például a legkisebb négyzeteknél (OLS), a regressziós probléma egy olyan $\beta$ vektor választása ami minimálisra csökkenti a négyzetösszeg maradékokat (félrebecsléseket), e_i.

Mátrix formában:

${\text{Minimize }}(y-X\beta )^{T}(y-X\beta )\,$

ahol y a függő változó vektora és az X egy mátrix amelyiknek minden oszlopa egy független változó vektora.

A kapott együttható:

${\hat {\beta }}=(X^{T}X)^{-1}X^{T}y\,$

ahol a T egy transzponált mátrixot jelez és a maradék vektor

${\hat {e}}=y-X{\hat {\beta }}=y-X(X^{T}X)^{-1}X^{T}y=[I-X(X^{T}X)^{-1}X^{T}]y=My.\,$

Itt, úgy az M mint az $X(X^{T}X)^{-1}X^{T}$ (projekciós) mátrix idenpotens és szimmetrikus, ami lehetővé teszi az egyszerűsítést a négyzetösszeg maradékok számításánál

${\hat {e}}^{T}{\hat {e}}=(My)^{T}(My)=y^{T}M^{T}My=y^{T}MMy=y^{T}My.\,$

Az M idempotenssége szerepet játszik más számításokban is, pl. egy együttható varianciájának a megállapításánál, ${\hat {\beta }}$.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Idempotent matrix című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• Mátrixaritmetika Archiválva 2015. március 3-i dátummal a Wayback Machine-ben