Projektor mátrix

A projektor mátrix vagy idempotens mátrix egy olyan négyzetes mátrix, amelynek minden sajátértéke 0 vagy 1. Minden n×n-es projektor mátrixnak van n darab lineárisan független sajátvektora. Ha egy n×n-es projektor mátrix rangja n, akkor az az egységmátrix. Négyzetre (és ebből következően bármilyen hatványra) emelve önmagát eredményezi.

PéldákSzerkesztés

2×2-es idempotens mátrixok:

 
 

Egy 3×3-as idempotens mátrix:

 

A 2×2-es esetSzerkesztés

Ha az   mátrix idempotens, akkor  . Ebből következik, hogy

  •  ,
  •  , azaz  , tehát   vagy  ,
  •  , azaz  , tehát   vagy  , és
  •  .

Egy 2×2-es mátrix tehát akkor idempotens, ha vagy diagonális mátrix, vagy pedig nyoma 1. Megjegyzendő, hogy az idempotens diagonális mátrix esetében az a és a d értéke 1 vagy 0.

SpeciálisanSzerkesztés

Ha b = c, akkor az   mátrix idempotens lesz, feltéve ha  , vagyis az (a, b) számpár kielégíti a következő másodfokú egyenletet:

 , vagy  ,

ami egy olyan kör egyenlete, amely középpontjának a koordinátái ( , 0) és a sugara  . Az (a, b) koordinátájú pontok e kör pontjai. A θ szög mint paraméter függvényében kifejezve

 ,
 , és az
  mátrix idempotens.

A b = c nem egy feltétel,

bármelyik   mátrix, ahol   fennáll, idempotens, így például a fentebb említett   is az.

TulajdonságokSzerkesztés

Az egységmátrix kivételével az idempotens mátrixok nem invertálható (szinguláris) mátrixok. Valóban, ha   invertálható idempotens mátrix, akkor  , ahonnan mindkét oldalt balról  -zel szorozva   adódik. Nem-triviális idempotens mátrixokban tehát a független sorok (és oszlopok) száma kisebb mint a sorok (és oszlopok) száma.

Ha az idempotens mátrixot kivonjuk az egységmátrixból, az eredmény egy szintén idempotens mátrix lesz, a következők szerint: [I − M][I − M] = I − M − M + M2I − M − M + MI − M.

Az   mátrix idempotens akkor és csak is akkor, ha bármilyen pozitív n számnál  . Az „akkor” feltétel következik abból ha  . A „csak is akkor” feltételt matematikai indukcióval lehet bizonyítani. Az   esetében világos, hogy  . Feltételezve hogy  , akkor   megfelel a követelménynek. Az indukciót alkalmazva az eredmény nyilvánvaló.

Egy idempotens mátrix mindig átlósítható és a sajátértékei 0 vagy 1.[1] Egy idempotens mátrix nyoma (főátlójában lévő elemek összege) egyenlő a mátrix rangjával és az mindig egész szám. Ez egyszerűvé teszi egy olyan mátrix rangjának illetve a nyomának megállapítását aminek az elemei nem ismertek, ami a nagy segítséget nyújt különböző ökonometriai és valószínűség (Variancia) számításoknál.

AlkalmazásokSzerkesztés

Az idempotens mátrixok gyakran előfordulnak a regressziószámításban és az ökonometriában. Például a legkisebb négyzeteknél (OLS), a regressziós probléma egy olyan   vektor választása ami minimálisra csökkenti a négyzetösszeg maradékokat (félrebecsléseket), ei.

Mátrix formában:

 

ahol y a függő változó vektora és az X egy mátrix amelyiknek minden oszlopa egy független változó vektora.

A kapott együttható:

 

ahol a T egy transzponált mátrixot jelez és a maradék vektor

 

Itt, úgy az M mint az   (projekciós) mátrix idenpotens és szimmetrikus, ami lehetővé teszi az egyszerűsítést a négyzetösszeg maradékok számításánál

 

Az M idempotenssége szerepet játszik más számításokban is, pl. egy együttható varianciájának a megállapításánál,  .

JegyzetekSzerkesztés

  1. Horn, Roger A.. Matrix analysis. Cambridge University Press, p. 148. o. (1990). ISBN 0521386322 

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben az Idempotent matrix című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

ForrásokSzerkesztés