Főmenü megnyitása

A projektor mátrix vagy idempotens mátrix egy olyan négyzetes mátrix, amelynek minden sajátértéke 0 vagy 1. Minden n×n-es projektor mátrixnak van n darab lineárisan független sajátvektora. Ha egy n×n-es projektor mátrix rangja n, akkor az az egységmátrix. Négyzetre (és ebből következően bármilyen hatványra) emelve önmagát eredményezi.

PéldaSzerkesztés

Így néz ki egy   és egy   idempotens mátrix:   illetve  

2 × 2 esetSzerkesztés

Ha az   mátrix idempotens, akkor  

  •  
  •   következik hogy   tehát   vagy  
  •   következik hogy   tehát   vagy  
  •  

Egy 2 × 2-es mátrix tehát akkor idempotens, ha vagy diagonális mátrix vagy pedig nyoma 1. Megjegyzendő, hogy az idempotens diagonális mátrix esetében az   és a   értéke 1 vagy 0.

Ha b = c, akkor a mátrix   idempotens lesz, feltéve ha   vagyis a kielégíti a másodfokú egyenletet:

  or  

amelyik egy kör amelynek a középpontjának a koordinátái (1/2, 0) és a sugara 1/2.

A θ szög függvényében kifejezve,

  idempotens.

A b = c nem egy feltétel,

bármelyik   mátrix ahol   idempotens.

TulajdonságokSzerkesztés

Az egységmátrix kivételével az idempotens mátrixok nem invertálható (szinguláris) mátrixok. Valóban, ha   invertálható idempotens mátrix, akkor  , ahonnan mindkét oldalt balról  -zel szorozva   adódik. Nem-triviális idempotens mátrixokban tehát a független sorok (és oszlopok) száma kisebb mint a sorok (és oszlopok) száma.

Ha az idempotens mátrixot kivonjuk az egységmátrixból, az eredmény egy szintén idempotens mátrix lesz, a következők szerint: [I − M][I − M] = I − M − M + M2I − M − M + MI − M.

Az   mátrix idempotens akkor és csak is akkor, ha bármilyen pozitív n számnál  . Az„akkor” feltétel következik abból ha  . A „csak is akkor” feltételt matematikai indukcióval lehet bizonyítani. Az   esetében világos, hogy  . Feltételezve hogy  , akkor   megfelel a követelménynek. Az indukciót alkalmazva az eredmény nyivánvaló.

Egy idempotens mátrix mindig átlósítható és a sajátértékei 0 vagy 1.[1] Egy idempotens mátrix nyoma (főátlójában lévő elemek összege) egyenlő a mátrix rangjával és az mindig egész szám. Ez egyszerűvé teszi egy olyan mátrix rangjának illetve a nyomának megállapítását aminek az elemei nem ismertek, ami a nagy segítséget nyújt különböző ökonometriai és valószínűség (Variancia) számításoknál.

AlkalmazásokSzerkesztés

Az idempotens mátrixok gyakran előfordulnak a regressziószámításban és az ökonometriában. Például a legkisebb négyzeteknél (OLS), a regressziós probléma egy olyan   vektor választása ami minimálisra csökkenti a négyzetösszeg maradékokat (félrebecsléseket), ei. Mátrix formában:  

ahol y a függő változó vektora és az X egy mátrix amelyiknek minden oszlopa egy független változó vektora.

A kapott együttható:  

ahol a T egy transzponált mátrixot jelez és a maradék vektor
 

Itt, úgy az M mint az   (projekciós) mátrix idenpotens és szimmetrikus, ami lehetővé teszi az egyszerűsítést a négyzetösszeg maradékok számításánál

 

Az M idempotenssége szerepet játszik más számításokban is, pl. egy együttható varianciájának a megállapításánál,  .

ForrásokSzerkesztés

JegyzetekSzerkesztés

  1. Horn, Roger A.. Matrix analysis. Cambridge University Press, p. 148. o. (1990). ISBN 0521386322 

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben az Idempotent matrix című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.