Főmenü megnyitása
A reciprokfüggvény képe hiperbola.

A matematikában egy nullától különböző szám reciprokának vagy multiplikatív inverzének azt a számot nevezik, amivel a számot szorozva az eredmény 1. A reciprok fogalma értelmezhető a racionális, a valós és a komplex számok körében egyaránt. A reciprok szó latin eredetű, és kölcsönösségre utal, és inkább ezekben a számkörökben használják. A számkörökön túl általában inkább inverznek szokták hívni.

Ha a számot x jelöli, akkor a reciproka 1/x, azaz 1 osztva x-szel, vagy másképp x–1, azaz x a mínusz egyedik hatványon. Egy szám reciprokának reciprokát véve visszakapjuk az eredeti számot. Tört formában felírt racionális szám esetében a számláló és a nevező felcserélésével egyszerűen megkapható a reciprok.

A reciprok, mint függvény az egyik legegyszerűbb példa egy olyan függvényre, melynek ismétlése az eredeti helyet adja vissza, így önmaga inverze. Az ilyen függvényeket involúciónak szokták nevezni.

A reciprok elnevezést az Elemek egy 1570-es fordítása használta, de inkább az Encyclopædia Britannica harmadik kiadása (1797) hozta divatba. Az Elemek inkább geometriai mennyiségekre vonatkoztatta.[1]

A fogalom kiterjeszthető más struktúrákra is, ahol a szorzás nem feltétlenül kommutatív, és nem feltétlenül asszociatív. Ekkor nem feltétlenül teljesül, hogy abba, így lehet beszélni jobb és bal inverzről. Az asszociativitás biztosítja a két inverz egyenlőségét.

Függvények esetén f −1 gyakran az inverz függvényre utal, és nem a függvény inverzére. Például a szinuszfüggvény inverz függvénye az árkusz szinusz, a függvény inverze a koszekáns. Csak lineáris leképezések esetén van szó ugyanarról a függvényről. A reciprok és az inverz szavak különbözősége sem segít megkülönböztetni a kettőt, mivel különböző szerzők és nyelvek máshogy használják.

Speciális számokSzerkesztés

A nullának semmilyen számkörben sem értelmezhető véges reciproka, ugyanis bármely számot nullával szorozva az eredmény nulla lesz. Ezért nincs olyan szám, amit nullával szorozva egyet kapnánk. A nullaszor végtelen szorzás eredménye nem egyértelmű.

A reciprok fogalmához hasonló az additív inverz, az ellentett. A valós számok körében az ellentett és az inverz mindig különböző számok. A komplex számok halmazában azonban vannak olyan számok, amiknek megegyezik az ellentettjük, és a reciprokuk: ezek éppen a képzetes egységek, a ±i.

 
Az f(x) = xx függvény grafikonja, az (1/e, e−1/e) minimummal

Néhány irracionális szám reciprokának fontos speciális tulajdonságai vannak. Ide tartozik az Euler-féle szám reciproka (≈ 0,367879) és az aranymetszés reciproka (≈ 0,618034). Az   szám különlegessége, hogy az   függvény globális minimuma. Az aranymetszés reciproka eggyel kisebb, mint az aranymetszés:  , és az egyetlen ilyen pozitív szám. Hasonló teljesül az ellentettjére, csak ellenkező előjellel:  .

Az   függvény végtelen sok irracionális számot ad, melyek egész számmal térnek el reciprokuktól. Például   esetén   adóik, melynek reciproka  , ami néggyel kevesebb. Ez azt is jelenti, hogy törtrészük megegyezik reciprokuuk törtrészével.

PéldákSzerkesztés

A nullától különböző valós és komplex számoknak van reciproka. Racionális számok reciproka racionális, valósaké valós, komplexeké komplex. Általában, a testek olyan struktúrák, melyekben minden nullelemtől különböző elemnek van multiplikatív inverze. Belátható, hogy ez gyűrűk esetén a másik irányba is teljesül; azaz, ha a nullelemen kívül minden elemnek van multiplikatív inverze, akkor a gyűrű test. Ha pedig algebra, akkor test fölötti algebra. Az egész számok nem alkotnak testet; csak az 1 és a -1 inverze egész.

A moduláris aritmetikában is definiálható multiplikatív inverz: az a szám által reprezentált maradékosztály multiplikatív inverze az a maradékosztály, melynek van olyan x eleme, hogy ax ≡ 1 (mod n). Ez az inverz akkor létezik, ha a és n relatív prímek. Például a 3-nak multiplikatív inverze 4 modulo 11, mivel 4 · 3 ≡ 1 (mod 11). A kiterjesztett euklideszi algoritmussal ki is számítható.

A szedeniók olyan algebrai struktúrát alkotnak, ahol vannak nullosztók, de minden nullától különböző elemnek van inverze.

Egy gyűrű fölötti négyzetes mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha determinánsa is. Ha a mátrixokat lineáris transzformációknak tekintjük egy adott bázisban, akkor az inverz mátrix az inverz lineáris transzformációt írja le ugyanabban a bázisban. Egy általánosabb függvény esetén azonban a két eset különböző eredményt ad, melyeket szigorúan meg kell különböztetni.

A trigonometrikus függvények párokba állíthatók. A szinusz reciproka a koszekáns, a koszinusz reciproka a szekáns, a tangens reciproka a kotangens, és megfordítva.

Komplex számokSzerkesztés

Ha z = a + bi nullától különböző komplex szám, akkor inverze kiszámítható a következőképpen:

 

A levezetéshez 1/z-t bővítettük az   komplex konjugálttal, és felhasználtuk, hogy   az a2 + b2 valós szám.

Innen kiszámítható, hogy, ha ||z||=1, akkor  , azaz egységnyi abszolútértékű komplex szám inverze megegyezik a konjugáltjával.

Ha z = r(cos φ + i sin φ) poláris alakban megadott komplex szám, akkor a szög az ellentettjére, és az abszolútérték a reciprokára változik:

 

Negatív kitevős hatványokSzerkesztés

A permanenciaelv szerint a negatív kitevős hatványok a reciprok pozitív hatványaiként értelmezhetők, ugyanis így lehet megőrizni a hatványozás azonosságait. Így

 

mivel

 
 
 
 
 
 

és

 

AnalízisSzerkesztés

 
Geometriai intuíció 1/x integráljára. Az integrálok 1-től 2-ig, 2-től 4-ig, és 4-től 8-ig egyenlőek. Mindegyik régió az előző régióból területtartó transzformációval kapható, ahol a vízszintes méret a kétszeresére nő, a függőleges pedig a felére zsugorodik. Általánosítva, az integrál 1-től 2k-ig k-szorosa az 1-től 2-ig tartó integrálnak, ahogy ln 2k = k ln 2

A valós analízisben az 1/x = x−1 függvény deriváltja a hatványfüggvények deriválási szabályával számítható ki, ahol a kitevő -1:

 

Az integrál számításához nem használható a hatványfüggvények integrálási szabálya, mivel az nullával osztáshoz vezet:

 

Az integrál megkapható más módon:

 
 

ahol ln a természetes logaritmus. Ehhez vegyük észre, hogy  ; tehát, ha  , és  , akkor: [2]

 

KiszámításaSzerkesztés

A reciprok tizedes tört alakja kiszámítható osztással. Sok osztási algoritmus azonban a reciprok kiszámításával kezdődik; azaz először kiszámolja a reciprokot, aztán szoroz az osztandóval. Felismerve, hogy az   függvénynek nullhelye van x = 1/b-ben, a reciprok Newton-módszerrel megkereshető:

 

Ez folytatható a kívánt pontosság eléréséig. Például szeretnénk kiszámítani az 1/17 ≈ 0,0588 -at három tizedesjegy pontossággal. Legyen x0 = 0,1; ekkor

x1 = 0,1(2 − 17 × 0,1) = 0,03
x2 = 0,03(2 − 17 × 0,03) = 0,0447
x3 = 0,0447(2 − 17 × 0,0447) ≈ 0,0554
x4 = 0,0554(2 − 17 × 0,0554) ≈ 0,0586
x5 = 0,0586(2 − 17 × 0,0586) ≈ 0,0588

A kezdőértéket általában úgy állapítják meg, hogy kerekítenek a kettő legközelebbi hatványára, majd biteltolással veszik annak reciprokát.

A módszer általánosítható például mátrixok inverzeinek meghatározására.

A konstruktív matematikában egy valós x számra nem elég az x ≠ 0 egyenlőtlenségnek teljesülnie. Kell, hogy legyen egy racionális r szám úgy, hogy 0 < r < |x|. A fent leírt algoritmus szerint: bizonyítani kell, hogy y változásai akármilyen kicsik lehetnek.

ÁltalánosításaSzerkesztés

A reciproknak megfelelő általánosabb fogalom félcsoportok, csoportok és gyűrűk esetén a multiplikatív inverz, azaz a „szorzás” műveletére vett inverz elem, amivel „szorozva” a művelet egységelemét kapjuk. Ha létezik ilyen elem, akkor az eredeti elemet invertálhatónak nevezik, ha pedig minden elem invertálható, akkor a műveletet is invertálhatónak mondják.

Példák:

  • Az egész számok közötti szorzást tekintve csak az 1-nek és a -1-nek van inverze (önmaguk), ugyanis az 1-en és -1-en kívül egyetlen egészhez sincsen olyan másik egész, hogy szorzatuk az 1-et adná.
  • A maradékosztályok gyűrűjében éppen azok az elemek invertálhatók, amik a modulushoz relatív prímek. Ezek a maradékosztályok a redukált maradékosztályok.
  • A szögfüggvények közül a szinusz és a koszekáns, a koszinusz és a szekáns, a tangens és a kotangens egymás reciproka minden olyan helyen, ahol az egyes párok mindkét tagja értelmezve van. Ez a kapcsolat nem tévesztendő össze a trigonometrikus függvények inverz függvényeivel, az árkuszfüggvényekkel.
  • A racionális, a valós és a komplex számok esetében (külön-külön tekintve őket) a nulla kivételével minden elemnek van inverze.
  • Egy csoport összes eleme invertálható a csoport asszociatív szorzás műveletére nézve. Ezért az invertálást sokszor egy változós műveletként tekintik.

A nem kommutatív algebrai struktúrákban még nagyobb az inverz jelentősége, mert ott a jobbról és a balról osztás helyett az inverzzel való szorzást használják.

További megjegyzésekSzerkesztés

Egy olyan algebrai struktúrában, ahol a szorzás asszociatív, az invertálható elemek nem lehetnek nullosztók. Az x elem nullosztó, ha nullelemtől különböző, és van olyan y elem, melyekre xy = 0. Ehhez elég megszorozni az xy = 0 egyenletet balról x reciprokával, és az asszociativitást felhasználva egyszerűsíteni. Asszociativitás hiányában a szedeniók szolgálnak ellenpéldával.

Az előző állítás megfordítása csak véges gyűrűkben teljesül. Például az egész számok gyűrűje asszociatív, de csak az 1-nek és a -1-nek van benne inverze. Véges gyűrűben minden olyan nem nulla elem invertálható, ami nem nullosztó. Először is, figyeljük meg, hogy f(x) = ax injektív függvény: ha f(x) = f(y), akkor x = y:

 

A különböző elemek különböző elemekre képeződnek le, a kép ugyanezekből a véges számú elemekből áll; emiatt a leképezés szükségképpen szürjektív függvény is. Speciálisan, az egységelem is előáll valamilyen x-re, ax = 1; ez az x elem az a elem inverze.

AlkalmazásokSzerkesztés

Egyes osztási eljárások először kiszámítják az inverzet, majd szoroznak az osztandóval.

Ha q alkalmas biztonságos prím, akkor 1/q kifejtése bármely számrendszerben alkalmas álvéletlen számok generálására.[3] Egy biztonságos prím 2p + 1 alakú, ahol p újra prím. A kifejtéssel nyert álvéletlen sorozat hossza q − 1.

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

  • Ellentett, az összeadásra vett (additív) inverz

JegyzetekSzerkesztés

  1. " In equall Parallelipipedons the bases are reciprokall to their altitudes". OED "Reciprocal" §3a. Sir Henry Billingsley translation of Elements XI, 34.
  2. Anthony, Dr.: Proof that INT(1/x)dx = lnx. Ask Dr. Math. Drexel University. (Hozzáférés: 2013. március 22.)
  3. Mitchell, Douglas W., "A nonlinear random number generator with known, long cycle length," Cryptologia 17, January 1993, 55–62.

ForrásokSzerkesztés

  • Hajdu Sándor: Matematika 6., Műszaki Kiadó
  • Kovács Zsongorné, Sz. Földvári Vera, Szeredi Éva: Matematika általános iskola 7., Műszaki Kiadó
  • Kosztolányi József, Kovács István, Pintér Klára, Dr. Urbán János, Vincze István: Sokszínű matematika 9., Mozaik Kiadó
  • Bárczy Barnabás: Trigonometria
  • Pósa Lajos: Összefoglalás, Műszaki Kiadó
  • Hajnal Imre: Matematika III., Tankönyvkiadó
  • Kiss Emil: Bevezetés az algebrába
  • Császár Ákos: Valós analízis, Tankönyvkiadó
  • Freud–Gyarmati: Számelmélet
  • Maximally Periodic Reciprocals, Matthews R.A.J. Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications vol 28 pp 147–148 1992

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Multiplicative inverse című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.