Főmenü megnyitása

A redukciós formulák bizonyos alakú határozatlan integrálokra adnak rekurziót. Ezek a rekurziók gyakran jól alkalmazhatók bizonyos határozott integrálok kiszámítására.

Tartalomjegyzék

Legfontosabb redukciós formulákSzerkesztés

Trigonometrikus redukciós formulákSzerkesztés

 
 

A két formula levezetése analóg, mi csak az elsőt mutatjuk be. Parciálisan integrálva:

 , ahol
 .

Visszaírva és, rendezve:

 , ami már maga a redukciós formula.

 Szerkesztés

 

Hogy ezt belássuk, a számlálót írjuk át:

 

Parciálisan integrálva:

 , amit rendezve már a kívánt formulához jutunk.

 Szerkesztés

Parciálisan integrálva kapjuk, hogy

 

AlkalmazásokSzerkesztés

Trigonometrikus helyettesítéseknélSzerkesztés

Irracionális függvények határozott integráljának a kiszámításakor gyakran alkalmazhatunk olyan trigonometrikus helyettesítést, ahol az integrandusz a helyettesítés után sin, vagy cos polinomja, és a határok   többszörösei. Ekkor hasznos a következő két formula, amit a redukciós formulák alkalmazásával könnyen megkaphatunk:

 
 

Racionális törtfüggvények integrálásakorSzerkesztés

Racionális törtfüggvény primitív függvényének a meghatározásakor a függvényt parciális törtekre bontjuk. A kapott összeadandók primitív függvényét zárt alakban megkaptuk, kivéve az   alakú tagokét. Hogy ezen tagok határozott integrálját is számolhassuk, redukciós formulát alkalmazunk:

 
 

Gamma-függvénySzerkesztés

Felhasználva, hogy

 ,

az idevágó redukciós formulából adódik, hogy

 .

A gamma-függvény szokásos definíciójával egybevetve:

 

Ugyanazt a parciális integrálást elvégezve, amit a vonatkozó redukciós formulánál elvégeztük kapjuk, hogy

 .

ForrásokSzerkesztés

  • Banach, S.: Differenciál- és integrálszámítás, Tankönyvkiadó, 1967