Reguláris gráf

matematikai fogalom

Egy gráf reguláris, ha minden csúcsának ugyanannyi szomszédja van, más szóval minden csúcs fokszáma azonos. A közös fokszámot k-val jelölve beszélhetünk k-reguláris gráfról is. A reguláris irányított gráfnak meg kell felelnie annak az erősebb feltételnek is, hogy az egyes csúcsba bemenő élek és kimenő élek száma egyenlő legyen egymással.[1]

Gráfcsaládok automorfizmusukkal meghatározva
távolságtranzitívtávolságreguláriserősen reguláris
szimmetrikust-tranzitív, t ≥ 2ferdeszimmetrikus
(ha összefüggő)
csúcs- és éltranzitív
éltranzitív és reguláriséltranzitív
csúcstranzitívreguláris(ha páros)
bireguláris
Cayley-gráfzérószimmetrikusaszimmetrikus

Egy erősen reguláris gráf egy olyan reguláris gráf, ahol a szomszédok száma megegyezik minden csúcsnál, de két összekötött csúcs közös szomszédjainak a száma és két nem-összekötött csúcs közös szomszédainak száma is független a két pont választásától.

A kézfogás-lemma szerint minden véges irányítatlan gráf páros darab páratlan fokszámú csúccsal rendelkezik.

Nash-Williams tétele szerint minden csúcsú k-reguláris gráfban van Hamilton-kör.

EgzisztenciaSzerkesztés

Akkor és csak akkor létezik n csúcsú  -reguláris gráf, ha , ha   és   páros. Ebben az esetben egy ilyen reguláris gráf könnyen megkonstruálható megfelelően paraméterezett cirkuláns gráfként.[forrás?]

OsztályozásSzerkesztés

A legfeljebb 2-reguláris gráfok egyszerűen osztályozhatóak.

  • A 0-reguláris gráfok nem tartalmaznak éleket, ezek az üres gráfok.
  • Az 1-reguláris gráfok egy-egy éllel összekötött csúcspárokat tartalmaznak.
  • A 2-reguláris gráfok csúcsidegen körökből állnak.
  • A 3-reguláris gráfokat angol nyelvterületen cubic graph-nak nevezik.

Algebrai tulajdonságokSzerkesztés

Legyen A egy gráf szomszédsági mátrixa.

A gráf akkor és csak akkor reguláris, ha   sajátvektora A-nak.[2] Ekkor a sajátérték k. A többi sajátértéknek megfelelő sajátvektorok merőlegesek  -re, tehát az ilyen sajátvektorok koordinátáinak összege nulla.

Egy k-reguláris gráf csak akkor összefüggő, ha k egyszeres sajátértéke. A "csak akkor" meghatározás a Perron–Frobenius-tétel következménye.[2]

Van egy másik kritérium a reguláris és összefüggő gráfokra: egy gráf pontosan akkor reguláris és összefüggő, ha az

 

mátrix eleme A szomszédsági algebrájának, azaz előáll A hatványainak lineáris kombinációjaként.[3]

Legyen G k- reguláris gráf, D átmérővel és   sajátértékekkel. Ha G nem páros gráf, akkor

 

PéldákSzerkesztés

GenerálásSzerkesztés

Létezik gyors algoritmus az adott fokszámú és csúcsszámú reguláris gráfok izomorfizmus erejéig való felsorolására.[4]

JegyzetekSzerkesztés

  1. Chen, Wai-Kai. Graph Theory and its Engineering Applications. World Scientific, 29. o. (1997). ISBN 978-981-02-1859-1 
  2. a b Cvetković, D. M.; Doob, M.; and Sachs, H. Spectra of Graphs: Theory and Applications, 3rd rev. enl. ed. New York: Wiley, 1998.
  3. Curtin, Brian (2005), "Algebraic characterizations of graph regularity conditions", Designs, Codes and Cryptography 34 (2-3): 241–248, DOI 10.1007/s10623-004-4857-4.
  4. Meringer (1999). „Fast generation of regular graphs and construction of cages”. Journal of Graph Theory 30 (2), 137–146. o. DOI:<137::AID-JGT7>3.0.CO;2-G 10.1002/(SICI)1097-0118(199902)30:2<137::AID-JGT7>3.0.CO;2-G.  

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Regular graph című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

További információkSzerkesztés