Főmenü megnyitása

Rendszám (halmazelmélet)

a halmazelméletben az egymással izomorf jólrendezett halmazok közös tulajdonsága

A rendszám a halmazelmélet egyik alapfogalma.

Tartalomjegyzék

DefinícióSzerkesztés

Egymással izomorf jólrendezett halmazok közös tulajdonságát nevezzük rendszámnak. Azaz, minden jólrendezett halmaznak van rendszáma és két jólrendezett halmaz rendszáma pontosan akkor azonos, ha izomorfak.

AlaptulajdonságokSzerkesztés

Rendszámok rendezése: azt mondjuk, hogy az α rendszám kisebb a β rendszámnál (jelben α<β), ha a következő igaz: ha (A,<) egy α rendszámú jólrendezett halmaz, (B,<) egy β rendszámú jólrendezett halmaz, akkor (A,<) izomorf (B,<) egy elem által alkotott kezdőszeletével. Erre a relációra a következő tulajdonságok teljesülnek:

  • irreflexivitás: α<α sosem igaz,
  • tranzitivitás: ha α<β<γ akkor α<γ,
  • trichotómia: ha α, β rendszámok, akkor α<β, α=β és β<α közül pontosan az egyik igaz.
  • jólrendezés: rendszámok tetszőleges nemüres halmazának vagy osztályának van legkisebb eleme.
  • egy α rendszámnál kisebb rendszámok jólrendezett halmazt alkotnak, melynek rendszáma α.

Rendszámok osztályozásaSzerkesztés

A rendszámokat a náluk kisebb rendszámok A halmaza alapján osztályozzuk.

  • Ha A üres, akkor a rendszám a nulla.
  • Ha A-nak van legnagyobb β eleme, akkor a szóban forgó rendszám β rákövetkezője.
  • Egyébként pedig limeszrendszám.

Minden véges (nem nulla) rendszám rákövetkező rendszám. A legkisebb limeszrendszám a szokásos rendezéssel ellátott természetes számok rendszáma; jele az ω.

MűveletekSzerkesztés

ÖsszeadásSzerkesztés

az összeadandó rendszámok reprezentáns halmazait egymás mögé írjuk.

Formálisan: ha   jólrendezett halmazok jólrendezett sorozata, akkor az   halmazon a lexikografikus rendezés ( , ha  ) jólrendezés; ennek rendszámát nevezzük   rendszámai összegének.

Ebből következik, hogy a rendszámok összeadása nem kommutatív, hiszen  . Ez onnan látható hogy az előbbi rendszámnak megfelelő halmazban van legnagyobb elem, míg az utóbbinak megfelelőben nincs. (Mellesleg  .)

SzorzásSzerkesztés

HatványozásSzerkesztés

A rendszámok nem alkotnak halmazt,Szerkesztés

hiszen akkor ez az R halmaz jólrendezett lenne, lenne egy α rendszáma, ami eleme lenne R-nek és egyenlő lenne R nála kisebb elemei halmazának rendszámával, ami kisebb, mint R-é – ellentmondás.

A Neumann-féle rendszámfogalomSzerkesztés

Definiáljuk a rendszámokat transzfinit rekurzióval, a nála kisebb rendszámok halmazaként. Ily módon minden rendszám halmaz, mégpedig olyan, amit az   reláció jólrendez, és minden rendszám rendszáma saját maga. Az első néhány rendszám:  ,  ,  , …

MegjegyzésSzerkesztés

Valójában nem definiálhatjuk a rendszámokat transzfinit rekurzióval, mert ahhoz, hogy az működjön, már szükség van rendszámokra, tehát fölhasználnánk őket önmaguk definiálásához. Ezért kerülő úton kell definiálni a Neumann-féle halmazokat:
Egy X halmazt Neumann-rendszámnak nevezünk, ha

  • X tranzitív, azaz   esetén  ;
  •   jólrendezett.

Az így definiált Neumann-rendszámok ugyanazok, mint amiket transzfinit rekurzióval építenénk föl. Azt, hogy ez megfelelő rendszámdefiníció, a következő tétel garantálja: Minden jólrendezett halmazhoz egyértelműen létezik vele izomorf Neumann-rendszám.

ForrásokSzerkesztés