Főmenü megnyitása

A matematikában a rezultáns a kommutatív algebra eszköze, ami segít megtalálni két polinom közös gyökeit. Többváltozós egyenletrendszerek esetén segít sorra kiküszöbölni az ismeretleneket. A rezultánst és más eszközöket a 19. században kezdték el tanulmányozni. Elsőként szimmetrikus rendszerekre használták, L Kronecker alkalmazta elsőként általános esetre. A modern komputeralgebrai rendszerekben rezultánsokat és magasabb dimenziós analógjaikat használják, hogy egy adott Gröbner-bázisból következtessenek az egyenletrendszer megoldásaira.

A számelméletben széles körben használják, akár közvetlenül, akár közvetve, a diszkriminánson keresztül, ami definíció szerint a polinom és deriváltja rezultánsa. A racionális vagy polinomiális együtthatós polinomok rezultánsa hatékonyan számítható. A komputeralgebra alapvető eszköze, és a legtöbb komputeralgebra rendszer beépített függvénye. Használják többek között a cilinderes algebrai dekompozícióhoz, racionális függvények integrálásához és a két változós polinomiális egyenletek által megadott görbék megrajzolásához.

Tartalomjegyzék

DefinícióSzerkesztés

Legyenek f és g polinomok az   polinomgyűrű elemei; jelölje f fokát m, g fokát n! Az R gyűrűről feltesszük, hogy kommutatív és egységelemes.

  és  .

Ekkor a két polinom rezultánsa a Sylvester-mátrix determinánsa.

 

A mátrix m sorban tartalmazza f együtthatóit, és n sorban g együtthatóit, a többi koordinátája nulla. Tehát a Sylvester-mátrix négyzetes,   sorral és oszloppal.

Egy másik definíció szerint, ha f és g egy K test fölötti polinomok, akkor a rezultáns

 

ahol a gyökök K algberai lezártjának elemei. Többszörös gyökök esetén a gyökök multiplicitásukkal szerepelnek. Következik, hogy a tényezők száma megegyezik f és g fokának szorzatával. Ha f és g főegyütthatója nem egy, akkor meg kell szorozni a pdegfqdegg tényezővel, ahol p az f, q a g együtthatója. Testek fölött a két definíció ekvivalens.

A rezultáns egy harmadik definíciója egy racionális kifejezésről beszél (ez testet feltételez), ami megfelel a következőknek:

  • Ha a polinomoknak közös gyökük van, akkor értéke nulla.
  • Ha értéke nulla, és legalább az egyik polinom főegyütthatója nem nulla, akkor a polinomoknak közös gyökük van.[1]

KiszámításaSzerkesztés

Mivel a rezultáns a gyökök polinomfüggvénye, és invariáns permutációjukra, a rezultáns kiszámítható az elemi szimmetrikus polinomok segítségével.

A rezultáns, mint determináns kiszámítható ezzel a képlettel:

 

tehát minden rögzített f-re polinomosan függ g együtthatóitól. Szimmetria miatt minden rögzített g-re polinomosan függ f együtthatóitól. Következik, hogy a rezultáns f és g együtthatóinak polinomja.

A rezultáns változatlan marad, ha a g polinomot   helyettesíti. Ezután a módszer az így kapott h és f szerepének cseréjével folytatható. Mivel azonban h gyökei különbözhetnek g gyökeitől, ezért újra fel kell írni a determinánst, ahol h együtthatóit vezető nullákkal egészítjük ki. Iteratív kifejtéssel res(f,g)=qdegf-degh res(h,g), ahol q a g főegyütthatója. Az eljárás folytatásával az euklideszi algoritmus egy változatához jutunk.

Az eljárás annyi számtani műveletet igényel, aminek nagyságrendje megegyezik a polinomok fokainak szorzatával. Azonban minden egyes alkalommal ki kell számítani bizonyos együtthatók legnagyobb közös osztóját, amitől az algoritmus túl lassúvá válik.

A szubrezultáns pszeudo-maradék sorozatok segítenek elkerülni ezeket a költséges műveleteket. Egy még hatékonyabb algoritmus kihasználja a rezultáns jól viselkedik a gyűrűhomomorfizmusokra; az egész együtthatós polinomok esetén különböző prím modulusokra számítják ki, és a végén a kínai maradéktétellel rekonstruálják az eredményt.

TulajdonságaiSzerkesztés

A Sylvester-mátrix transzponáltja az   egyenlet rendszer mátrixa, ahol ez lineáris egyenletrendszerként van értelmezve a

  és  

kofaktor polinomokra.

Ha az f és a g polinomoknak van közös gyöke, akkor a rezultáns nullává válik. A másik irány bizonyításához az kell, hogy az R gyűrű egyértelmű faktorizációs gyűrű és integritási tartomány legyen; azaz az eddigi kikötések mellett nullosztómentes legyen, és nem null elemei egyértelműen prímelemekre bonthatók legyenek. Ez teljesül például, ha R test, az egész számok gyűrűje vagy polinomgyűrű. Ha ezek teljesülnek, és  , akkor f-nek és g-nek van pozitív fokú közös tényezője. Ha egy homomorfia megőrzi f és g fokát, akkor a rezultánsnak f és g képének rezultánsát felelteti meg.

Ha a polinomok együtthatói egy algebrailag zárt testből valók, például komplex számok, akkor az f és g polinomok lineáris tényezőkre bomlanak:

  und  .

Ekkor a rezultáns kifejezhető a gyökökkel:

 .

A Cramer-szabállyal megmutatható, hogy mindig vannak olyan R-beli együtthatós A és B polinomok, hogy

 .

Ezek az A és B polinomok adják a Sylvester-mátrix komplemensének utolsó oszlopát.

Teljesülnek a következők, ha f és g együtthatói egy test elemei:

  • res(f,g) = (-1)degfdeggres(g,f)
  • res(hf,g)=res(f,g)res(h,g)
  • Ha   és  , akkor  .
  • Ha X, Y, f, g foka megegyezik és X=a00f+a01g, Y=a10f+a11g,
akkor  
  •  

AlkalmazásaiSzerkesztés

  • Ha x és y algebrai számok, és  , akkor   x-ben gyöke az   és   rezultánsának. Továbbá   gyöke   és   rezultánsának. Hozzávéve azt, hogy   az   gyöke, kapjuk, hogy az algebrai számok testet alkotnak.
  • Egy polinom diszkriminánsa a polinom és deriváltjának rezultánsa.
  • Az algebrai geometriában görbék metszéspontjának kiszámítására is használják. például definiáljanak
 
és
 

algebrai görbéket  -ban. Ha f-et és g-t polinomoknak tekintjük x-ben k[y]-beli együtthatókkal, akkor f és g rezultánsa polinom y-ban, aminek nullhelyei a metszéspontok y koordinátái, vagy az x tengellyel párhuzamos közös aszimptotái.

Kapcsolat az euklideszi algoritmussalSzerkesztés

Hasonló képletet kaphatunk a kibővített euklideszi algoritmussal. Ebből egy hatékony kiszámítási eljárást lehet levezetni, a szubrezultáns-eljárást.

Többváltozós polinomok rezultánsaSzerkesztés

A két változós homogén polinomok rezultánsa nullává válik, ha a két polinomnak közös nem nulla megoldása van, vagy ekvivalensen, közös zérójuk van a projektív egyenesen. Általánosabban, a multipolinomiális rezultáns, multivariáns rezultáns vagy Macaulay-rezultáns n darab n változós homogén polinomra értelmezett polinom, ami nullává válik, ha van egy közös nem nulla megoldás, vagy ekvivalensen, ha az n projektív hiperfelületeknek közös zérója van az n-1 dimenziós projektív térben. A Gröbner-bázisokkal együtt ez a hatékony kiküszöbölési elmélet egyik fő eszköze.

JegyzetekSzerkesztés

  1. Archivált másolat. [2016. július 1-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2016. június 22.)

ForrásokSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Resultante című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Ez a szócikk részben vagy egészben a Resultant című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.