Főmenü megnyitása

A Riemann-féle zéta-függvény a számelmélet, ezen belül az analitikus számelmélet legfontosabb komplex változós függvénye. Különböző tulajdonságai szorosan összefüggenek a prímszámok eloszlásának kérdéseivel. A nemtriviális zérushelyeire vonatkozó Riemann-sejtés sokak szerint a matematika legfontosabb megoldatlan problémája.

DefinícióSzerkesztés

A Riemann-féle ζ(s) függvényt a

 

Dirichlet-sorral definiáljuk ott, ahol ez konvergens, azaz az 1-nél nagyobb valós résszel rendelkező komplex s értékekre. (Az analitikus számelméletben a komplex számokat hagyományosan s=σ+it alakban írják.)

ζ(s) analitikus folytatással az egész síkon meromorf függvénnyé terjeszthető ki, az alábbi módon:

 

Aminek egyetlen elsőrendű pólusa 1-ben van, az s=-2, -4, … ( ahol a szinusz nulla, és a gamma-függvény véges értéket vesz fel) helyeken zérushelyei vannak, továbbá végtelen sok zérushelye van a   sávban. Ez az úgynevezett kritikus sáv.

A függvény értékei egész helyekenSzerkesztés

A zéta-függvény értékeit pozitív, páros helyeken Euler határozta meg:

 

ahol   az n-edik Bernoulli-szám.

Speciálisan adódik a híres

 

formula, aminek meghatározása sokak hiábavaló próbalkozása után, először Eulernek sikerült (ez volt az úgynevezett Basel-probléma). Ismert továbbá, hogy     racionális többszöröse.

A   értékekről sokkal kevesebbet tudunk. Hosszú ideig az is ismeretlen volt, hogy   irracionális szám-e. Ezt végül 1977-ben Apéry bizonyította be. 2001-ben Keith Ball és Tanguy Rivoal igazolta, hogy a Q feletti,   által generált vektortér végtelendimenziós. 2002-ben Rivoal bebizonyította, hogy   valamelyike irracionális. Ezt V. Zudilin megjavította arra az eredményre, hogy   valamelyike irracionális. Bizonyított még, hogy  végtelen sok helyen irracionális.[1]

Euler heurisztikájaSzerkesztés

A  -függvény nempozitív egész helyein felvett értékei a következőképpen adhatók meg:

  és  .

Érdekes módon az utóbbi értékeket Euler heurisztikus módon meghatározta. A  -re vonatkozó okoskodása, azaz   „igazolása” a következő volt:

Legyen  . Ezt egy taggal eltolva   adódik. A két sort tagról tagra összeadva  -et kapunk, azaz  . Hasonlóan legyen  . Ismét eltolva:  . Megint tagonként összeadva a két sort, azt kapjuk, hogy  , azaz  . Legyen végül  . Ekkor  , mivel az   sorból az   sort úgy kaphatjuk, hogy a páros sorszámú tagokhoz rendre hozzáadjuk a sor   tagjait. Innen   adódik.

Kapcsolat a prímszámok eloszlásávalSzerkesztés

Már Euler felfedezte a

 

szorzatelőállítást, ami konvergens minden olyan s=σ+ti alakú komplex számra, ahol σ>1. Itt a p változó a prímszámokon fut végig. Valóban, ha a jobb oldali összegeket kiszorozzuk, akkor, a számelmélet alaptételének értelmében minden   alakú tagot megkapunk, éspedig pontosan egyszer. Az átrendezés jogosságát az adja, hogy a feltétel miatt a szereplő sor abszolút konvergens.

A függvényegyenletSzerkesztés

A függvényegyenlet összekapcsolja a függvény értékeit az s és az 1-s helyeken. Vezessük be a

 

függvényt. A   függvény az egész komplex számsíkon analitikus és csak a kritikus sávban vannak zérushelyei (amelyek azonosak a zéta-függvény zérushelyeivel). Ekkor   teljesül.

A függvényegyenlet aszimmetrikus formája:

 

A   függvény Weierstrass-féle szorzatelőállítása:

 

ahol   végigfut   nemtriviális gyökein.

A gyökök kapcsolata a prímszámok eloszlásávalSzerkesztés

A gyökök közvetlen kapcsolatba hozhatók a prímszámok eloszlásával a következő képlettel:

 

ahol   a nemtriviális gyökökön fut végig és

 

ahol   a von Mangoldt-féle függvény, azaz  , ha  , egyébként 0. Mivel   a prímhatvány helyeken ugrik, a fenti képlet ezekre a számokra csak azzal a korrekcióval igaz, hogy ilyen x esetén az utolsó tag   helyett  . Egyszerű okoskodással belátható, hogy   minél közelebb van  -hez, annál közelebb van    -hez. Így például ψ(x)∼x ekvivalens π(x)∼Li(x)-szel, azaz a prímszámtétellel. A jobb oldalon szereplő   tagok   esetén így alakíthatók:   tehát abszolút értékük kb  . Minél közelebb van a nemtriviális gyökök valós része ½-hez, annál közelebb van    -hez. Konkrétan ψ(x)∼x ekvivalens azzal, hogy nincs   alakú gyök és ha   olyan szám amire igaz, hogy minden gyök valós része legfeljebb  , akkor   és így  .

A gyökök eloszlásaSzerkesztés

A ζ-függvénynek végtelen sok zérushelye van a kritikus sávban. Riemann sejtette, hogy a  ,   téglalapban a zérushelyek száma

 

Ezt von Mangoldt 1895-ben gyengébb hibataggal, majd 1905-ben ezzel a hibataggal bizonyította.

1899-ben de la Vallée Poussin igazolta, hogy nincs zérushely a

 

tartományban. Ezt Littlewood 1922-ben a

 

tartományra, majd 1958-ban Korobov és Vinogradov a

 

tartományra javította ( , tetszőleges).

JegyzetekSzerkesztés

  1. T. Rivoal: La fonction zeta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs. In: Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série I. Mathématique. 331, 2000, S. 267–270. arxiv:math/0008051. doi:10.1016/S0764-4442(00)01624-4.