Riemann-sejtés

A Riemann-sejtés, amelyet először Bernhard Riemann fogalmazott meg 1859-ben, egyetlen számelméleti tárgyú dolgozatában, a Riemann-féle zéta-függvény zérushelyeinek eloszlásával foglalkozik (és így a prímszámok lehető legegyenletesebb eloszlását állítja). Sokan (így például Erdős Pál is) az egész matematika legfontosabb problémájának, koronagyémántjának tartják. Egyike a Hilbert-problémáknak, és az egymillió dollárt érő millenniumi problémáknak is. A legtöbb matematikus igaznak tartja, bár például John Edensor Littlewood és Atle Selberg hangoztatott kétségeket.

A Riemann-féle zéta-függvény ζ(s) egyváltozós, komplex számokon értelmezett függvény, értelmezési tartománya a teljes komplex számsík, az s = 1 eset kivételével. Ha s>1 valós szám, akkor a konvergens

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$

sor állítja elő, ez még akkor is konvergens, ha s komplex, de valós része 1-nél nagyobb. Így például az ismert Euler-féle formula miatt ζ(2)=π²/6. Ha s valós része nem 1-nél nagyobb, akkor analitikus folytatással kapjuk a függvény értékeit.

Vannak úgynevezett triviális gyökhelyei a negatív páros számokban, azaz az s = −2, s = −4, s = −6, … értékeknél. A Riemann-sejtés a nem triviális esetekkel foglalkozik, és kimondja:

A Riemann-féle ζ-függvény minden nem triviális gyökének a valós része 1/2.

Tehát a nemtriviális gyökök az 1/2 + it alakú számokból álló úgynevezett kritikus egyenesen vannak, ahol t valós szám és i a képzetes egység.

Ekvivalens állítások

Számos, elsőre egyszerűnek tűnő állítás valójában ekvivalens a Riemann-hipotézissel, például:

1. minden $n\geq 100$ természetes számra teljesül

$|\log([1,2,\dots ,n])-n|\leq {\sqrt {n}}\left(\log n\right)^{2}$

ahol $[1,2,\dots ,n]$ az első $n$ szám legkisebb közös többszörösét jelöli.

2. Robin tétele: Guy Robin 1984-ben bizonyította, hogy a következő állítás:

$\sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n$ minden n > 5040-re;

ahol σ(n) az osztóösszeg-függvény, és γ az Euler–Mascheroni-állandó; szintén ekvivalens a Riemann-sejtéssel.

3. Lagarias tétele: 2002-ben Jeffrey Lagarias megmutatta, hogy a Riemann-sejtés ekvivalens a σ(n) osztóösszeg-függvényre vonatkozó következő felső becsléssel:

$\sigma (n)\leq H_{n}+\ln(H_{n})e^{H_{n}}$

minden n természetes számra, ahol H_n a harmonikus sorozat ($H_{n}\ :=\ \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}$).

A Riemann-féle zéta-függvény

A Riemann-féle zéta-függvény a komplex síkon, ${\textrm {Re}}(s)$ vízszintesen és ${\textrm {Im}}(s)$ függőlegesen. A ${\textrm {Re}}(s)=$½ gyököket egy fehér pontsor jelöli.

A Riemann-féle zéta-függvény egy komplex értékű függvény. Definíciója a komplex sík $\operatorname {Re} (s)>1$ tartományán a következő:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots$

ahol s a komplex szám. Ezt a függvényt kiterjesztik a komplex síkra, kivéve az egyet, ahol pólusa van.

Fontos tulajdonsága, hogy kapcsolódik a prímszámokhoz, továbbá összekapcsolja a komplex függvénytant a számelmélettel, és rá alapul a Riemann-sejtés. Mindezek miatt a sejtésnek számos következménye van a számelmélet különböző területein. Leonhard Euler 1748-ban ezzel az összefüggéssel mutatta meg a kapcsolatot:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p\ {\text{prim}}}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}={\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\cdots }}$

ahol a $\Pi _{p}$ végtelen szorzat befutja a prímszámokat. Ez az összefüggés a számelmélet alaptételének és a mértani sor összegképletének közvetlen következménye.

Ezzel a képlettel a Riemann-féle zéta-függvény a teljes komplex síkra kiterjeszthető, kivéve az $s=1$ egyszeres pólust, tehát meromorf függvényt kapunk.

$\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\left({\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{2s}}+\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}{\frac {1}{s+n-1}}+\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\mathrm {d} x\right)$,

ahol $\Gamma$ a teljes gammafüggvény, és $B_{n}$ a Bernoulli-számok. Az első néhány Bernoulli-szám: $B_{0}=1,\;B_{1}=-1/2,\;B_{2}=1/6,\;B_{3}=0,\dots$

Jelentősége

A zéta-függvény értékei a Re(s) = 1/2 kritikus egyenesen

Kapcsolat a prímszámokkal

Már Riemann is felismerte a zéta-függvény és a prímszámok közötti kapcsolatot. Cikkében analitikus kifejezést keresett a prímszámláló függvényre. A kapcsolathoz a következő képletből indult ki:

$\zeta (s)=\prod _{p\ \mathrm {prim} }{\frac {1}{1-p^{-s}}},$

Ennek logaritmusát véve:

$\log \zeta (s)=\sum _{p\ \mathrm {prim} }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {p^{-ns}}{n}}$

Végül az

$p^{-ns}=s\int \limits _{p^{n}}^{\infty }x^{-s-1}\mathrm {d} x$

integrállal sikerült Riemann-nak a zéta-függvény logaritmusát analitikusan kifejeznie. Ehhez

$\Pi (x)=\sum _{p^{n}<x}{\frac {1}{n}}$

ami minden x-nél kisebb prímhatványra összegzi az $1/n$-t. Például,

$\Pi (20)=\underbrace {\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)} _{2^{1},2^{2},2^{3},2^{4}<20}+\underbrace {\left(1+{\frac {1}{2}}\right)} _{3^{1},3^{2}<20}+\underbrace {(1)} _{5^{1}<20}+\underbrace {(1)} _{7^{1}<20}+\underbrace {(1)} _{11^{1}<20}+\underbrace {(1)} _{13^{1}<20}+\underbrace {(1)} _{17^{1}<20}+\underbrace {(1)} _{19^{1}<20}={\frac {115}{12}}$

Ez egy lépcsős függvény. Így $\log \zeta (s)$ integrálképlete:

$\log \zeta (s)=\sum _{p\ \mathrm {prim} }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {p^{-ns}}{n}}=s\sum _{p\ \mathrm {prim} }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\int \limits _{p^{n}}^{\infty }x^{-s-1}\mathrm {d} x=s\int \limits _{0}^{\infty }x^{-s-1}\Pi (x)\mathrm {d} x.$

A Fourier-analízis mestereként Riemann inverz Mellin-transzformációval a következőre jutott:

$\Pi (x)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\log \zeta (s)}{s}}x^{s}\mathrm {d} s$

ahol c > 1. A továbbiakban a kszí-függvénnyel kezdett el foglalkozni:

$\xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)$

Innen már egyszerű volt a második nem triviális kifejezést megkapnia $\log \zeta (s)$-re:

$\log \zeta (s)=\sum _{\rho }\log \left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)-\log 2-\log \Gamma \left(1+{\frac {s}{2}}\right)+{\frac {s}{2}}\log \pi -\log(s-1).$

A továbbiakban ezt behelyettesítette $\log \zeta (s)$ helyére:

$\Pi (x)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\log \zeta (s)}{s}}x^{s}\mathrm {d} s.$

Ennek nehézkes kiértékelése ellenére sikerült a következőre jutnia:

$\Pi (x)=\mathrm {Li} (x)-\sum _{\rho }\mathrm {Li} (x^{\rho })-\log 2+\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t(t^{2}-1)\log t}},$

ahol $\mathrm {Li} \,x=\int _{2}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\log t}}$ az integrállogaritmus. Ezután egy Möbius-inverzióval összekapcsolta a $\pi (x)$ és a $\Pi (x)$ függvényeket:

${\pi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\Pi (x^{1/n})=\Pi (x)-{\frac {1}{2}}\Pi (x^{1/2})-{\frac {1}{3}}\Pi (x^{1/3})-{\frac {1}{5}}\Pi (x^{1/5})+{\frac {1}{6}}\Pi (x^{1/6})-\cdots },$

ami egy mélyebb összefüggést ad a prímszámok és a zéta-függvény gyökei között.

Megjegyzés: Numerikus számítás esetén a Riemann-képletben az összegben $\mathrm {Li} (x^{\rho })$-t $\mathrm {Ei} (\rho \log x)$-szel kell helyettesíteni, ahol $\mathrm {Ei} (x)$ a komplex integrálexponenciális függvény, mivel $x^{\rho }$ kiértékelésekor a logaritmus főágára nem biztos, hogy teljesül $\log x^{\rho }=\rho \log x$, így hamis eredményre jutnánk.

Következmények

Ha a Riemann-sejtés igaz, akkor a prímszámok számának becslése pontosítható: (Helge von Koch 1901):

$\pi (x)=\mathrm {Li} \,x+{\mathcal {O}}({\sqrt {x}}\cdot \log x)$

Sőt, Koch eredménye ekvivalens a Riemann-sejtéssel. Az előbbi összefüggés egy másik alakja:

$|\pi (x)-\mathrm {Li} \,x|<K{\sqrt {x}}\cdot \log x$

egy $K>0$ konstans erejéig, és ennek egy szigorú gyengítése (ami nem ekvivalens):

$\pi (x)=\mathrm {Li} \,x+{\mathcal {O}}(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon })$

tetszőleges $\varepsilon >0$-ra.

Az analitikus számelméletben sok eredmény, sőt a kriptográfiában is fontos gyors prímtesztek is csak a Riemann-sejtést feltéve vannak bizonyítva. Michael Berry fizikus szerint a zéta-függvény komplex gyökeiben kódoltan megjelennek a prímszámok eloszlásának fluktuációi az aszimptotikus logaritmikus eloszlás körül. A pontos eloszlás ismeretében pontosabb kijelentések tehetők arról, hogy egy tartományban mennyi prímszám van.

A sejtés egy különben kaotikusan viselkedő függvény egy szimmetriatulajdonságáról szól. A zéta-függvény kaotikusságát mutatja, hogy minden, az azonosan nullától különböző analitikus függvényt egy 1/4 sugarú körben approximál. Ez a szimmetria maga valószínűleg egy alapvető elméletet rejt, ahogy például a nagy Fermat-tétel is az elliptikus görbék moduláris függvényekkel való paraméterezését, amit a Langlands-program vizsgált.

Története

Eredete

A sejtést Bernhard Riemann vetette fel, amikor a zéta- és a gammafüggvény szorzatát tanulmányozta. Ez írható az

$\xi (s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)$,

alakban. Erről Riemann kiderítette, hogy invariáns arra, hogy felcseréljük az $s$-t $(1-s)$-sel. Más szavakkal, megfelel az

$\!\ \xi (s)=\xi (1-s).$

függvényegyenletnek. Az $s=1/2+it$ helyettesítéssel nyerte a következőt minden $t\in \mathbb {C}$-re:

$\!\ \xi (1/2+it)=\xi (1/2-it).$

Ennek a tükrözésnek a tengelye az 1/2 valós részű komplex számok egyenese, ami pontonként fix. Riemann ugyan valós gyökökről írt, de ezzel arra gondolt, hogy az $s=1/2\pm it$ kritikus sávban a

$\xi (s)=\xi (1/2\pm it)=0$

egyenlet csak valós t-kre oldható meg.

Gyökmentes tartomány

Az analitikus számelméletben a komplex számokat általában s=σ+ti alakban szokták felírni, tehát σ a valós rész, t a képzetes rész. A sejtés tehát az, hogy a 0≤σ≤1 sávba eső gyökökre σ=½ teljesül. Először Jacques Hadamard és Charles Jean de la Vallée-Poussin igazolta, hogy nincs a σ=1 egyenesen gyök. Ebből már következik a prímszámtétel és mint utóbb kiderült, ekvivalens is vele. De la Vallée Poussin azt is igazolta, hogy ha s=σ+ti, akkor

$\sigma <1-{\frac {c}{\log t}}$

teljesül.

Ezt Littlewood javította meg 1922-ben:

$\sigma <1-{\frac {c\log \log t}{\log t}}.$

A következő eredményt Korobov és Vinogradov adta 1958-ban:

$\sigma <1-{\frac {c}{(\log t)^{2/3+\varepsilon }}}$

minden ε>0-ra.

A legjobb eredmény szerint ha |t| ≥ 3, akkor

$\sigma <1-{\frac {1}{57{,}45(\log {|t|})^{3/2}(\log {\log {|t|}})^{1/3}}}.$

Általánosítási kísérlet

Pólya György 1919-ben felállította azt az erősebb sejtést, hogy tetszőleges x természetes számra azon $n\leq x$ számok száma, amiknek páratlan sok prímtényezője van (összesen), legalább annyi, mint amennyinek páros. Ezt C. Brian Haselgrove 1958-ban megcáfolta, nem igaz például x=906 180 359-re.

Hamis riasztások

• 1885-ben Stieltjes rövid jegyzetet publikált a párizsi akadémia Comptes Rendusjében és egy Hermite-nek írt levelében megerősítette, hogy bebizonyította a Mertens-sejtést, ami erősebb, mint a Riemann-sejtés. Bizonyítást azonban haláláig nem publikált, és jegyzetei között sem találták nyomát.
• A kiváló matematikus, Johan Jensen 1899-es cikkében megemlítette, hogy bebizonyította a Riemann-sejtést.
• 1943-ban Hans Rademacher az utolsó pillanatban vonta vissza cikkét a Transactions of the American Mathematical Society c. folyóiratból, miután Siegel megtalálta a hibát.
• 1961-ben az odesszai egyetem folyóiratában publikálta hibás bizonyítását N. I. Gavrilov. Később külön brosúrában majd könyvben is megjelentette, az ogyesszai illetve a lembergi egyetem kiadásában.
• 2004. június 8-án a Purdue Egyetem sajtóközleményében jelentette be Louis de Branges, hogy fáradozásai sikerrel jártak: bizonyítását feltette a világhálóra. Sajnos ebben egy olyan megközelítést használt, amelynek a cáfolatát már 1998-ban bemutatták. De Branges ezen kívül még számos hibás bizonyítást adott az invariáns alterek problémájára, a mérhető számosságok nemlétezésére és a Riemann-sejtésre. A Bieberbach-problémára adott 1984-es bizonyítása azonban utóbb helyesnek (pontosabban javíthatónak) bizonyult.
• 2007-ben tette közzé a Riemann-sejtés cáfolatát Tribikram Pati. Bizonyítását hibásnak mutatta ki például Bernhard Johann Krötz.

Általánosításai

Az általánosított Riemann-sejtésen rendszerint a következőt értik:

Tetszőleges Dirichlet-karakterhez tartozó Dirichlet-sor analitikus folytatásának

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}},$

a $0\leq \operatorname {Re} (s)\leq 1$ kritikus sávban az összes gyökére teljesül, hogy $\operatorname {Re} (s)=1/2.$ Ennek a Riemann-sejtés egy speciális esete. Andrew Granville belátta, hogy ez az általánosított Riemann-sejtés ekvivalens a Goldbach-sejtéssel.

Kapcsolatai más sejtésekkel

Az analitikus számelméletben más sejtések is kapcsolatba hozhatók a Riemann-sejtéssel.

A Merstens-sejtés azt állítja, hogy $\textstyle \left|M(n)\right|=\left|\sum _{k=1}^{n}\mu (k)\right|<{\sqrt {n}}$ minden $n>1$-re. Itt $\mu$ a Möbius-függvény és $M$ a Mertens-függvény. A Riemann-sejtésnél szigorúbb sejtést 1985-ben megcáfolták.

Arnaud Denjoy valószínűségi értelmezést adott a Riemann-sejtésnek. Legyen $\mu (k)$ egy véletlen sorozat az (1, -1) elemekből egyenlő valószínűséggel. Ekkor minden $\varepsilon >0$-ra

$\left|M(x)\right|=\left|\sum _{k\leq x}\mu (k)\right|={\mathcal {O}}(x^{1/2+\varepsilon })$

ami azt jelenti, hogy a nullától való távolság legfeljebb olyan gyorsan nő, mint $x^{1/2+\varepsilon }$. Ha itt $\mu$ a Möbius-függvény, akkor a Riemann-hipotézis ekvivalens azzal, hogy ez az aszimptotikus növekedés az összegre is érvényes.(Littlewood 1912) Littlewood továbbá azt is belátta, hogy a Riemann-sejtés a következővel is ekvivalens: Minden $\varepsilon >0$ esetén a $M(x)x^{-{\frac {1}{2}}-\varepsilon }$ tart a nullához, ha x $\infty$ tart a végtelenhez. A Riemann-hipotézis értelmezhető úgy, hogy a Möbius-függvény eloszlása véletlenszerű.

Továbbá következik egy korlát is a prímszámtétel hibájának növekedésére. Koch eredménye azonban ekvivalens a Riemann-hipotézissel.

A következőből következik a Riemann-hipotézis:

$\left|{\pi (x)-\operatorname {Li} (x)}\right|={\mathcal {O}}({\sqrt {x}}\cdot \log(x))$

A Lindelöf-sejtés a zéta-függvény növekedéséről a kritikus egyenes mentén gyengébb a Riemann-sejtésnél, de nincs bizonyítva.

Riesz Marcell 1916-ban megmutatta az ekvivalenciát a Riesz-függvény aszimptotikus viselkedésével kapcsolatos sejtéssel. Jerome Franel 1924-ben egy Farey-sorokról tett kijelentéssel kapcsolatban bizonyított ekvivalenciát. Ez azt állítja, hogy a (0,1) intervallum racionális számainak rendezése lineáris formába és a Farey-sorok sorrendje egy jóldefiniált matematikai értelemben annyira eltér, amennyire csak lehet.

Jeffrey Lagarias 1992-ben egy ekvivalens sejtést fogalmazott meg az elemi számelmélet eszközeivel.

Bizonyítási ötletek a fizikából

A bizonyítás újabb ötletei a fizikából származnak. Már David Hilbertnek és Pólya Györgynek feltűnt, hogy a Riemann-sejtés következne abból, hogy ha a gyökök egy (1/2 + i T) operátor sajátértékei lennének, ahol T hermitikus, tehát minden sajátértéke valós, mint a kvantummechanika Hamilton-operátorainak. Az 1970-es években Hugh Montgomery beszélgetve Freeman Dysonnal arra jutott, hogy az egymást követő gyökök távolsága hasonló eloszlást mutat, mint a véletlen unitérmátrixok sajátértékei. Ezt Andrew Odlyzko numerikus számításokkal megerősítette. Az 1990-es években fizikusok is, mint Michael Berry keresték az ezeket megalapozó rendszert, a kvantumkáosz elméletének rendszerében. Ez további támogatást kapott a Riemann-féle zéta-függvény explicit képleteinek és a Selberg-nyomformuláinak analógiájától, ami egy Riemann-felületen értelmezett Laplace-Beltrami-operátor sajátértékeit hozza kapcsolatba a zárt geodetikus görbék hosszával, és a kvantumkáosz Gutzwiller-képletével. Ez összekapcsolja egy klasszikus kaotikus rendszer, mint kvantummechanikai rendszer sajátértékeket (energiákat) a klasszikus eset periodikus pályáival. Ezek a nyomformulák azonosságot fejeznek ki a gyökök, pályaperiódusok és sajátértékek között.

Az Alain Connes által 1996-ban megadott operátor gyorsan illeszkedik. Mindazonáltal nem tudta kizárni a kritikus egyenesen kívüli gyökök létét.

Egy további, a fizikából származó ötlet a Jang-Li-gyökök, amelyek a statikus mechanika analitikus folytatásának állapotösszegei. Jang Csen-ning és Li Cseng-tao bizonyították Pólya György egy eredményéből, hogy bizonyos modellek esetén a gyökök egy körön, más modellekben egy egyenesen helyezkednek el. A gyökök helye a fázisátmenetek alatti viselkedést határozza meg, hasonlóan, mint a Riemann-féle zéta-függvény a prímek elhelyezkedését.

Ezek mögött a következő analógia rejlik: A prímszámok elemi részecskék, amelyek a szorzás által kölcsönhatásba lépnek egymással, és így építik fel az összetett számokat. Ezzel együtt mindegyiket az összeadás építi fel. A zéta-függvényben ez a két aspektus összekapcsolódik.

Freeman Dyson 2009-ben az egydimenziós kvázikristályokkal hozta kapcsolatba a sejtést.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Riemannsche Vermutung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• Professor Chris Caldwell: The Riemann Hypothesis. The Prime pages. The University of Tennessee at Martin, 1994–2007. [2004. október 10-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2004. október 16.)
• A Purdue egyetem sajtóközleménye
• M. Watkins oldala az állítólagos bizonyításokról Archiválva 2004. október 13-i dátummal a Wayback Machine-ben
• Marcus du Sautoy: Die Musik der Primzahlen. Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik. München: dtv / C. H. Beck. 2003–2004. ISBN 3-423-34299-4 (a sejtés története)  
• John Derbyshire: Prime obsession – Bernhard Riemann and the greatest unsolved problem in Mathematics. Washington: (kiadó nélkül). 2003. ISBN 0-309-08549-7  
• Andrew Granville: Refinements of Goldbach’s Conjecture, and the generalized Riemann hypothesis. Poznań: Faculty of Mathematics and Computer Science of Adam Mickiewicz University. 2007. 159–173. o. = Functiones et Approximatio, Commentarii Mathematici, 37.  
• Harold Edwards: Riemann’s Zeta Function. New York 1974, Dover 1991, ISBN 0-486-41740-9.
• Karl Sabbagh: Dr. Riemann’s Zeros. (hely nélkül): Atlantic. 2002.  
• Edward Charles Titchmarsh: The Theory of the Riemann Zeta-Function. Átd. D. R. Heath-Brown. Oxford: (kiadó nélkül). 1987. ISBN 0-19-853369-1  
• P. Borwein – S. Choi – B. Rooney – A. Weirathmueller: The Riemann hypothesis. A resource for the afficionado and virtuoso alike. New York: Canad. Math. Soc., Springer. 2008. = CMS Books in Mathematics, 27. ISBN 978-0-387-72125-5  
• Julan Havil: Gamma – Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung. (hely nélkül): Springer. 2007.  
• Jürg Kramer: Die Riemannsche Vermutung. 2002. 90–95. o. = Elemente der Mathematik, 57.  
• Dan Rockmore: Stalking the Riemann Hypothesis. (hely nélkül): Pantheon. 2005.  

További információk

• John Derbyshire: Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. (hely nélkül): Joseph Henry Press. 2003. ISBN 0-309-08549-7 arch Hozzáférés: 2004. október 16.  
• Karl Sabbagh: The Riemann Hypothesis. (hely nélkül): Farrar, Straus and Giroux. 2003. ISBN 0-374-25007-3  
• Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. (hely nélkül): Typotex. 2009. 133. o. ISBN 978-963-279-026-8