Néhány gyakorlati példa
szerkesztés
A forgószelek egy úgynevezett szem körül örvénylenek. A forgószelet leíró vektormező rotációja nem nullvektor a szemben, és lehet, hogy máshol sem.
Egy forgó tárcsa pontjainak sebességét leíró vektormező rotációja minden pontban ugyanaz a nullvektortól különböző vektor.
Egy autópályán , ahol az egyes sávokon különböző sebességgel haladnak az autók, a sávokat elválasztó vonalakon a rotáció szintén nem nullvektor.
Az F = ( F x , F y , F z ) {\displaystyle F=\left(F_{x},F_{y},F_{z}\right)} háromdimenziós vektormező rotációja szintén háromdimenziós vektormező. Jelölése :rot F → = curl F → = ∇ × F → {\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {F}}=\operatorname {curl} {\vec {F}}=\nabla \times {\vec {F}}} , ahol ∇ {\displaystyle \nabla } a nabla operátor , és rot a rotáció függvényszimbóluma. A kereszt egy formális keresztszorzatot jelent, így a rotáció a derékszögű koordináta-rendszerben :
rot : C ∞ ( R 3 , R 3 ) → C ∞ ( R 3 , R 3 ) F → = ( F x , F y , F z ) ↦ ∇ × F → {\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {rot} :&C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3},\mathbb {R} ^{3})&\rightarrow &C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3},\mathbb {R} ^{3})\\&{\vec {F}}=\left(F_{x},F_{y},F_{z}\right)&\mapsto &\nabla \times {\vec {F}}\end{matrix}}} A keresztszorzat definíciója alapján a rotáció formális determinánsként írható fel:∇ × F → = ( ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z ) × ( F x F y F z ) = | e → x e → y e → z ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z | = ( ∂ F z ∂ y − ∂ F y ∂ z ∂ F x ∂ z − ∂ F z ∂ x ∂ F y ∂ x − ∂ F x ∂ y ) {\displaystyle \nabla \times {\vec {F}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}{\vec {e}}_{x}&{\vec {e}}_{y}&{\vec {e}}_{z}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\\{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\\{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\\\end{pmatrix}}}
Gömbi koordinátákkal :
rot F → = ( 1 r sin θ [ ∂ ∂ θ ( F ϕ sin θ ) − ∂ F θ ∂ ϕ ] 1 r sin θ ∂ F r ∂ ϕ − 1 r ∂ ∂ r ( r F ϕ ) 1 r [ ∂ ∂ r ( r F θ ) − ∂ F r ∂ θ ] ) {\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {F}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{r\sin \theta }}\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(F_{\phi }\sin \theta \right)-{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \phi }}\right]\\{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{r}}{\partial \phi }}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rF_{\phi }\right)\\{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rF_{\theta }\right)-{\frac {\partial F_{r}}{\partial \theta }}\right]\end{pmatrix}}} Hengerkoordinátákkal: :rot F → = ( 1 r ∂ F z ∂ φ − ∂ F φ ∂ z ∂ F r ∂ z − ∂ F z ∂ r 1 r [ ∂ ∂ r ( r ⋅ F φ ) − ∂ F r ∂ φ ] ) {\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {F}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial z}}\\{\frac {\partial F_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial r}}\\{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\cdot F_{\varphi }\right)-{\frac {\partial F_{r}}{\partial \varphi }}\right]\end{pmatrix}}}
Görbe vonalú derékszögű koordináta-rendszerben:
∇ → × F → = e → q 1 h 2 h 3 [ ∂ ( h 3 F 3 ) ∂ q 2 − ∂ ( h 2 F 2 ) ∂ q 3 ] + {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}={\frac {{\vec {e}}_{q_{1}}}{h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial (h_{3}F_{3})}{\partial q_{2}}}-{\frac {\partial (h_{2}F_{2})}{\partial q_{3}}}\right]+{}}
e → q 2 h 1 h 3 [ ∂ ( h 1 F 1 ) ∂ q 3 − ∂ ( h 3 F 3 ) ∂ q 1 ] + {\displaystyle {\frac {{\vec {e}}_{q_{2}}}{h_{1}h_{3}}}\left[{\frac {\partial (h_{1}F_{1})}{\partial q_{3}}}-{\frac {\partial (h_{3}F_{3})}{\partial q_{1}}}\right]+{}}
e → q 3 h 1 h 2 [ ∂ ( h 2 F 2 ) ∂ q 1 − ∂ ( h 1 F 1 ) ∂ q 2 ] {\displaystyle {\frac {{\vec {e}}_{q_{3}}}{h_{1}h_{2}}}\left[{\frac {\partial (h_{2}F_{2})}{\partial q_{1}}}-{\frac {\partial (h_{1}F_{1})}{\partial q_{2}}}\right]} ,
ahol h a = | ∂ r → ∂ q a | {\displaystyle h_{a}={\left|{\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial {q_{a}}}}\right|}}
A rotáció előjelet vált, ha balos koordináta-rendszerről jobbos koordináta-rendszerre térünk át.
A V → = ( V x , V y ) {\displaystyle {\vec {V}}=\left(V_{x},V_{y}\right)} vektortérben a következő módon számítható a rotáció:
rot V → = ∂ V y ∂ x − ∂ V x ∂ y {\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {V}}={\frac {\partial V_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial V_{x}}{\partial y}}} Ez éppen egy háromdimenziós vektormező rotációjának a harmadik koordinátája.
A rotáció mint örvénysűrűség
szerkesztés
Az örvénysűrűségként való értelmezés a Stokes-tétel következő infinitezimális alakján nyugszik:
( r o t F ) ⋅ n := lim Δ S ( 2 ) → 0 { 1 | Δ S ( 2 ) | ∮ Γ F ⋅ d r } {\displaystyle ({\rm {rot}}\,\mathbf {F} )\cdot \mathbf {n} :=\lim _{\rm {\Delta S^{(2)}\to 0}}\,\{{\frac {1}{|\Delta S^{(2)}|}}\,\oint _{\Gamma }\,\mathbf {F} \cdot {\rm {d}}\mathbf {r} \}}
Itt Δ S ( 2 ) {\displaystyle \Delta S^{(2)}} egy tetszőlegesen irányított n {\displaystyle \mathbf {n} } normálisú kis felületdarab; felszíne | Δ S ( 2 ) | {\displaystyle |\Delta S^{(2)}|} , és irányított határgörbéje Γ = ∂ ( Δ S ( 2 ) ) {\displaystyle \Gamma =\partial (\Delta S^{(2)})} .
A divergenciával analóg módon a legtöbb itt megadott állítás levezethető ebből a formulából.
A v ( r ) {\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {r} )} kétszer folytonosan differenciálható háromdimenziós vektormező, amely a végtelenben elég gyorsan tart nullához, felbontható egy E {\displaystyle \mathbf {E} } örvénymentes rész és egy forrásmentes B {\displaystyle \mathbf {B} } rész összegére:
v = E + B {\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {E} +\mathbf {B} } .
Az örvénymentes részt meghatározza a forrássűrűsége:
E ( r ) = − ∇ Φ ( r ) {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla \Phi (\mathbf {r} )} , ahol
Φ ( r ) = ∫ R 3 d ( 3 ) r ′ d i v E ( r ′ ) 4 π | r − r ′ | {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=\int _{\mathbb {R} ^{3}}\,{\rm {d}}^{(3)}r'\,\,{\frac {{\rm {div}}\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}} .
A forrásmentes részre hasonlók teljesülnek, ha Φ {\displaystyle \Phi } skalárpotenciálja helyett az A {\displaystyle \mathbf {A} } vektorpotenciált vesszük, és a − ∇ Φ {\displaystyle -\nabla \,\Phi } meg a d i v E {\displaystyle {\rm {div}}\,\,\mathbf {E} } kifejezéseket a r o t A {\displaystyle {\rm {rot}}\,\mathbf {A} } meg a r o t B {\displaystyle {\rm {rot}}\,\mathbf {B} } kifejezések helyettesítik
A rotáció szerepet játszik a vektoranalízisben fontos Stokes-tételben, aminek segítségével a felszíni integrál görbe menti integrállá alakítható:
∬ M ( rot F → ) ⋅ d A → = ∮ ∂ M F → ⋅ d r → {\displaystyle \iint _{M}(\operatorname {rot} {\vec {F}})\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}=\oint _{\partial M}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}
Minden c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } konstansra, minden u {\displaystyle u\;} skalármezőre és minden F → {\displaystyle {\vec {F}}} , G → {\displaystyle {\vec {G}}} vektormezőre fennáll:
rot ( c ⋅ F → ) = c ⋅ rot F → {\displaystyle \operatorname {rot} (c\cdot {\vec {F}})=c\cdot \operatorname {rot} {\vec {F}}}
rot ( F → + G → ) = rot F → + rot G → {\displaystyle \operatorname {rot} ({\vec {F}}+{\vec {G}})=\operatorname {rot} {\vec {F}}+\operatorname {rot} {\vec {G}}} rot grad u = 0 → {\displaystyle \operatorname {rot} ~\operatorname {grad} \,u={\vec {0}}}
rot ( u ⋅ F → ) = u ⋅ rot F → + ( grad u ) × F → {\displaystyle \operatorname {rot} (u\cdot {\vec {F}})=u\cdot \operatorname {rot} {\vec {F}}+(\operatorname {grad} \,u)\,\times {\vec {F}}} további szorzási szabályok rot ( F → × G → ) = ( G → ⋅ grad ) F → − ( F → ⋅ grad ) G → + F → ( div G → ) − G → ( div F → ) {\displaystyle \operatorname {rot} ({\vec {F}}\times {\vec {G}})=\left({\vec {G}}\cdot \operatorname {grad} \right){\vec {F}}-\left({\vec {F}}\cdot \operatorname {grad} \right){\vec {G}}+{\vec {F}}\,(\operatorname {div} \,{\vec {G}})-{\vec {G}}\,(\operatorname {div} \,{\vec {F}})}
rot ( rot F → ) = grad ( div F → ) − Δ F → {\displaystyle \operatorname {rot} (\operatorname {rot} {\vec {F}})=\operatorname {grad} (\operatorname {div} \,{\vec {F}})-\Delta \,{\vec {F}}} Általánosítás tetszőleges fokú tenzormezőkre
szerkesztés
Egy vektormező értelmezhető elsőfokú tenzormezőként. Az Einstein-féle összegkonvenció és a Levi-Civita-szimbólum alapján egy vektormező rotációja így írható:
( ∇ × F → ) i = ϵ i j k ∂ j F k {\displaystyle (\nabla \times {\vec {F}})_{i}=\epsilon _{ijk}\partial _{j}F_{k}} A tetszőleges fokú F j 1 , j 2 , … , j N {\displaystyle F_{j_{1},j_{2},\dots ,j_{N}}} tenzorokra ez alapján az általánosítás nyilvánvaló:
( ∇ × F ) i = ϵ i j k ∂ j F j 1 , j 2 , … , j N − 1 , k {\displaystyle (\nabla \times F)_{i}=\epsilon _{ijk}\partial _{j}F_{j_{1},j_{2},\dots ,j_{N-1},k}}