Főmenü megnyitása

A rotáció és a divergencia a vektoranalízis differenciáloperátorai. Mind differenciálgeometriai, mind fizikán belüli alkalmazásaik jelentősek. A rotáció jelentése legszemléletesebb az áramlástanban, ahol azt mutatja meg, hogy örvénylik a folyadék egy kis térfogatban.

Ha egy vektormező rotációja mindenütt nulla, akkor ez a vektormező örvénymentes.

Néhány gyakorlati példaSzerkesztés

  • A forgószelek egy úgynevezett szem körül örvénylenek. A forgószelet leíró vektormező rotációja nem nullvektor a szemben, és lehet, hogy máshol sem.
  • Egy forgó tárcsa pontjainak sebességét leíró vektormező rotációja minden pontban ugyanaz a nullvektortól különböző vektor.
  • A következő példa egy autópálya, ahol az egyes sávokon különböző sebességgel haladnak az autók. Ha ez a sebesség balról jobbra növekszik, akkor a sávokat elválasztó vonalakon a rotáció szintén nem nullvektor.

DefinícióSzerkesztés

Az   háromdimenziós vektormező rotációja szintén háromdimenziós vektormező. Jelölése :  , ahol   a nabla operátor, és rot a rotáció függvényszimbóluma. A kereszt egy formális keresztszorzatot jelent, így a rotáció a derékszögű koordináta-rendszerben:

 

ahol is a keresztszorzat a következő összefüggést adja: : 

A keresztszorzat definíciója alapján a rotáció formális determinánsként írható fel.

Gömbi koordinátákkal:

 

Hengerkoordinátákkal: : 

Görbe vonalú derékszögű koordináta-rendszerben:

     , ahol  

A rotáció előjelet vált, ha balos koordináta-rendszerről jobbos koordináta-rendszerre térünk át.

Két dimenzióbanSzerkesztés

A   vektortérben a következő módon számítható a rotáció:

 

Ez éppen egy háromdimenziós vektormező rotációjának a harmadik koordinátája.

A rotáció mint örvénysűrűségSzerkesztés

Az örvénysűrűségként való értelmezés a Stokes-tétel következő infinitezimális alakján nyugszik:

 

Itt   egy tetszőlegesen irányított   normálisú kis felületdarab; felszíne  , és irányított határgörbéje  .

A divergenciával analóg módon a legtöbb itt megadott állítás levezethető ebből a formulából.

Felbontási tételSzerkesztés

A   kétszer folytonosan differenciálható háromdimenziós vektormező, amely a végtelenben elég gyorsan tart nullához, felbontható egy   örvénymentes rész és egy forrásmentes   rész összegére:

 .

Az örvénymentes részt meghatározza a forrássűrűsége:

 , ahol  .

A forrásmentes részre hasonlók teljesülnek, ha   skalárpotenciálja helyett az   vektorpotenciált vesszük, és a   meg a   kifejezéseket a   meg a   kifejezések helyettesítik

Stokes integráltételeSzerkesztés

A rotáció szerepet játszik a vektoranalízisben fontos Stokes-tételben, aminek segítségével a felszíni integrál görbe menti integrállá alakítható:

 

Számolási szabályokSzerkesztés

Minden   konstansra, minden   skalármezőre és minden  ,   vektormezőre fennáll:

  • linearitás:
 
 
  • differenciálformák:
 
 
  • további szorzási szabályok
 
 

Általánosítás tetszőleges fokú tenzormezőkreSzerkesztés

Egy vektormező értelmezhető elsőfokú tenzormezőként. Az Einstein-féle összegkonvenció és a Levi-Civita-szimbólum alapján egy vektormező rotációja így írható:

 

A tetszőleges fokú   tenzorokra ez alapján az általánosítás nyilvánvaló:

 


ForrásokSzerkesztés

Külső hivatkozásokSzerkesztés