Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. A felmerült kifogásokat a szócikk vitalapja részletezi (vagy extrém esetben a szócikk szövegében elhelyezett, kikommentelt szövegrészek). Ha nincs indoklás a vitalapon (vagy szerkesztési módban a szövegközben), bátran távolítsd el a sablont! Csak akkor tedd a lap tetejére ezt a sablont, ha az egész cikk megszövegezése hibás. Ha nem, az adott szakaszba tedd, így segítve a lektorok munkáját!
A közönséges negyedrendű Runge–Kutta-módszerszerkesztés
A Runge–Kutta-módszercsalád közönséges negyedrendű tagja annyira elterjedten használatos, hogy egyszerűen csak „a Runge–Kutta-módszer”-ként hivatkoznak rá. E módszer az alábbi kezdetiérték-probléma egy negyedrendű közelítő megoldását adja.
Azaz tetszőlegesen rögzített pozitív valós, tipikus esetben kicsiny lépésköz esetén az -edik lépésben a kezdetiérték-probléma megoldásának egy olyan
közelítését adja a
helyen, amely közelítés hibája negyedrendű. E negyedrendűség azt jelenti, hogy a választott lépésköz zsugorításakor annak negyedik hatványával zsugorodik a hibára adott felső becslés. Például a lépésköz harmadolása árán, azaz nagyjából háromszor annyi számolás árán a hibakorlát -szeresre zsugorodik.
A lépésköz rögzítése után az alábbi, -szerinti rekurziós lépésekkel kapjuk az megoldásfüggvény közelítését.
Így, a helyhez tartozó közelítőérték egyenlő a helyhez tartozó közelítőérték, plusz a becsült meredekség szorozva az intervallum hosszával. A meredekség becslése egy, most nem részletezett matematikai megfontolás alapján súlyozott középértéke az alábbi négy meredekségi becslésnek:
E négy közelítés átlagolásánál a és szélekhez képest a felezőnél dupla súlyt alkalmazunk.
Mivel a megoldásfüggvény felvett értékeire csak additív műveleteket és a skalárral való szorzás műveletét alkalmazzuk, lényegében ezért a módszer nem csak skalár értékű megoldásfüggvények, hanem vektor értékűek esetén is alkalmazható. Ilyen például a Schrödinger-differenciálegyenlet, amelynek Hamilton-operátorát használjuk a fenti szerepében.
A fent említett Runge–Kutta-módszercsalád általánosítása az explicit Runge–Kutta-módszer, amit a
ad meg, ahol
(Megjegyzés: a fenti egyenletek különböző formákban is megjelenhetnek egyéb forrásokból, de jelentésük azonos).
Ahhoz hogy meghatározzunk egy bizonyos módszert,kell egy s egész változó (a szakaszok száma), illetve az aij (1 ≤ j < i ≤ s), bi (i = 1, 2, ..., s) és a ci (i = 2, 3, ..., s) együtthatók. Ezek az adatok általában egy mnemonik eszközbe kerülnek be, ami a Butcher táblájaként ismert (Butcher tableau, John C. Butcher neve után):
0
A Runge–Kutta-módszer konzisztens, ha
Ugyanakkor vannak más követelmények, ha azt szeretnénk, hogy a módszernek legyen p fokszáma, így a kerekítési hiba O(hp+1) lesz. Például egy kétlépcsős módszer másodrendű ha b1 + b2 = 1, b2c2 = 1/2, és b2a21 = 1/2.
A RK4 szerkezete a következő táblázat szerint értelmezhető:
0
1/2
1/2
1/2
0
1/2
1
0
0
1
1/6
1/3
1/3
1/6
Habár a legegyszerűbb Runga-Kutta-módszer az Euler-módszer maga, amelynek képlet ad meg.
Ez az egyetlen explicit Runge–Kutta-módszer egy lépcsővel.
0
1
Egy példa a másodrendű két lépcsős módszerre a középponti módszer:
Az erre megfelelő táblázat:
0
1/2
1/2
0
1
Megjegyzendő, a középponti módszer nem a legmegfelelőbb RK-módszer. A Heun-módszer egy alternatív megoldást kínál, ahol a tábla 1/2-ei 1-re cserélődnek, és a b sora pedig [1/2,1/2].
Ha valaki minimalizálni akarja a kerekítés által keletkezett hibákat, akkor az alábbi módszert kell használnia (Atkinson p. 423). Más fontos módszerek: Fehlberg, Cash-Karp és Dormand-Prince.
Az adaptív módszer arra volt tervezve, hogy megadja a becsült helyi kerekítési hibát minden egyes RK lépésben. Ezt úgy valósította meg, hogy két módszert tartalmaz a táblázat, egyet p-ed rendűvel és egyet p-1-ed rendűvel.
A kisebb rendű lépés adott:
ahol, a megegyezik a magasabb rendű módszerrel. Ekkor a hiba:
ami . A Butcher-táblázat erre a módszerre ki van bővítve, így megadja a értékeit:
0
A RK Fehlberg módszernek a két rendszere az ötöd- és negyedrendű. Ennek a kibővített Butcher-táblázata a következő:
0
1/4
1/4
3/8
3/32
9/32
12/13
1932/2197
−7200/2197
7296/2197
1
439/216
−8
3680/513
-845/4104
1/2
−8/27
2
−3544/2565
1859/4104
−11/40
16/135
0
6656/12825
28561/56430
−9/50
2/55
25/216
0
1408/2565
2197/4104
−1/5
0
Habár a legegyszerűbb adaptív Runge–Kutta-módszer a másodrendű Heun-módszert és az elsőrendű Euler-módszert foglalja magába. Ennek a kibővített Butcher-táblázata:
0
1
1
1/2
1/2
1
0
A hiba eredményét a lépték határozza meg.
Más adaptiv Runge–Kutta-módszerek a Bogacki-Shampine-módszer (harmad-és másodrendű), a Cash-Karp-módszer és a Dormand-Prince-módszer (mindkettő ötöd- és negyedrendű).
Az implicit módszerek jóval általánosabbak az expliciteknél. Az eltérés a Butcher-táblázatnál merül fel: az implicit módszernél, a mátrix aij együtthatója nem feltétlenül alacsony háromszög:
A megközelítő megoldás a kezdeti érték problémára utal az együtthatók nagyobb számára.
Az mátrix telítettsége miatt, az egyes becslése jelentékeny mértékben fog függeni az függvénytől. A nehézségek ellenére, az implicit módszerek nagy jelentőséggel birnak az erősen stabil állapotuk miatt, ami különösen fontos a parciális differenciál egyenletek megoldásában. A legegyszerűbb példa egy implicit Runge–Kutta-módszerre fordított Euler-módszer:
Ennek táblázata egyszerű:
Még az egyszerűbb implicit módszer alkalmazása is bonyolulttá válhat, ami a ki kifejezésből látszik is:
Ebben az esetben, a fenti bonyolult kifejezés leegyszerűsíthető a következőképpen:
így hát
amiből következik, hogy:
Noha egyszerűbb, mint a módosítások előtti „nyers” kifejezés, ez egy implicit összefüggés, tehát a konkrét megoldás problémafüggő. A többlépéses implicit módszert sikeresen használják a kutatók. Az egyensúly összeállítása (kombinációja), a magasabb rendpontosság kevesebb lépésben és a léphetőség (stepping) egyedül az előző értékben válik érdekessé, ugyanakkor a bonyolult példa jellegzetes kivitelezése, és a tény, hogy ki ismételt megközelítései mutatják hogy ezek hasonlóak (ugyanazok).