Sűrű részhalmaz

A topológiában és a matematika kapcsolódó részterületeiben egy topologikus tér részhalmaza sűrű egy topologikus térben, ha a topologikus tér minden pontjára teljesül, hogy eleme a részhalmaznak, vagy annak torlódási pontja. Azaz a topologikus tér minden egyes pontja benne van a részhalmazban, vagy tetszőlegesen közel van a részhalmaz egy pontjához. Például a racionális számok halmaza sűrű a valós számok halmazában, mert minden valós szám vagy racionális, vagy tetszőlegesen megközelíthető racionális számokkal.

Formálisan, az X topologikus tér A részhalmaza sűrű X-ben, ha X összes pontjának minden környezete tartalmaz pontot A-ból. Ekvivalensen, A sűrű X-ben, ha X-nek nincs más (relatív) zárt részhalmaza, ami tartalmazza A-t. Egyszerűbben, A lezártja X, vagy A lezártjának komplementerének a belseje üres.

A topológián kívül megjelenik az analízisben, a funkcionálanalízisben és a numerikus módszerekben, például a folytonos függvények approximációjában.

Egy topologikus tér sűrűsége megegyezik legkisebb sűrű részhalmazának számosságával.

Speciális esetei

Rendezett halmazokban

Legyen $(M,<)$ szigorúan teljesen rendezett halmaz, és $S$ részhalmaza M-nek. S sűrű M-ben, ha minden M-beli $x$-hez és $y$-hoz van S-beli z, hogy $x<z<y$. Ez a megfogalmazás a rendezési topológiából adódik.

Metrikus terekben

Metrikus terekben a sűrű részhalmaz ekképpen is definiálható: Legyen X metrikus tér. Ekkor A ${\overline {A}}$ lezártja előáll A és A határpontjainak uniójaként:

${\overline {A}}=A\cup \{\lim _{n}a_{n}:\forall n\geq 0,\ a_{n}\in A\}.$

A sűrű X-ben, ha:

${\overline {A}}=X.$

Jegyezzük meg, hogy $A\subseteq \{\lim _{n}a_{n}:\forall n\geq 0,\ a_{n}\in A\}$. Ha $\{U_{n}\}$ az X metrikus tér sűrű nyílt halmazainak sorozata, akkor $\cap _{n=1}^{\infty }U_{n}$ is sűrű X-ben. Ez a Baire-kategóriatétel egy ekvivalens alakja.

Példák

A leggyakrabban emlegetett példa a racionális számok halmaza a valós számok körében. Egy másik példa az irracionális számok halmaza szintén a szokásos topológiában. Ez mutatja, hogy egy topologikus térnek több diszjunkt sűrű részhalmaza lehet. A természetes számok és a Cantor-halmaz a valós számok sehol sem sűrű részhalmazai. A Cantor-halmaz a [0,1] intervallumban is sehol sem sűrű.

A Weierstrass-féle approximációs tétel miatt egy adott zárt intervallumon, [a, b]-n értelmezett komplex értékű folytonos függvények mindegyike tetszőlegesen pontosan egyenletesen approximálható polinommal. Más szavakkal, az [a, b]-n értelmezett polinomok sűrűek az [a, b]-n értelmezett komplex értékű folytonos függvények terében a szuprémum normával.

Minden metrikus tér sűrű a teljessé tételében.

A tesztfüggvények halmaza sűrű a Lebesgue-integrálható függvények terében.

Normált tér részhalmaza sűrű a lezártjában.

Tulajdonságok

Minden topologikus tér sűrű önmagában. A diszkrét topológiájú tereknek nincs is más sűrű részhalmazuk. A triviális topológiájú terekben ellenben minden nem üres részhalmaz sűrű. Megfordítva, nincs más topológia, amiben minden nem üres részhalmaz sűrű.

A sűrűség tranzitív reláció az altértopológiában. Ha A, B, és C az X topologikus tér részhalmazai, és A ⊆ B ⊆ C úgy, hogy A sűrű B-ben, és B sűrű C-ben, akkor A is sűrű C-ben az altértopológiával.

Sűrű részhalmaz szürjektív folytonos képe ismét sűrű. A sűrűség topológiai invariáns, azaz minden homeomorfia megőrzi.

Ha egy topologikus tér egy sűrű részhalmaza összefüggő, akkor a topologikus tér is összefüggő.

A Hausdorff-térbe képező folytonos függvényeket meghatározza egy sűrű részhalmazon értelmezett leszűkítésük. Más szóval, ha f és g ilyen függvények, és megegyeznek egy X-ben sűrű A részhalmazon, akkor egész X-ben megegyeznek.

Kapcsolódó fogalmak

Egy X topologikus tér A részhalmazának x pontja torlódási pontja vagy érintkezési pontja, ha x minden környezete tartalmazza A x-től különböző pontját. Ha ez nem teljesül, akkor x izolált pont. Az izolált pontok nélküli halmazokról azt mondjuk, hogy sűrűek önmagukban.

Egy X topologikus tér A részhalmaza sehol sem sűrű, hogyha egy pontjának sincs olyan környezete X-ben, amiben A sűrű. Ekvivalensen, ha lezártjának belseje üres. Egy sehol sem sűrű halmaz komplementerének belseje mindig sűrű. Zárt sehol sem sűrű halmaz komplementere sűrű. Egy adott X topologikus térben az A részhalmaz első kategóriájú, ha előáll megszámlálható sok sehol sem sűrű halmaz uniójaként. A racionális számok halmaza első kategóriájú.

Ha X topologikus tér, akkor kompakt halmazba való beágyazása sűrű részhalmazként X kompaktifikációja.

Egy X és Y topologikus vektorterek közötti lineáris operátor sűrűn definiált, ha értelmezési tartománya sűrű X-ben, és értékkészlete része Y-nak. Lásd folytonos lineáris kiterjesztés.

Az X topologikus tér hiperösszefüggő, ha minden nem üres nyílt részhalmaza sűrű X-ben. Szubmaximális, ha minden sűrű részhalmaza sűrű.

Egy topologikus tér szeparábilis, ha van megszámlálható sűrű részhalmaza.

Források

• Nicolas Bourbaki. General Topology, Chapters 1–4, Elements of Mathematics. Springer-Verlag [1971] (1989). ISBN 3-540-64241-2 
• Steen, Lynn Arthur & Seebach, J. Arthur Jr. (1995), Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3
• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9 (Springer-Lehrbuch).
• Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. Heldermann, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X (Berliner Studienreihe zur Mathematik 15).