Sincfüggvény

(Sinc függvény szócikkből átirányítva)

A sinc függvény, sinus cardialis, kardinális szinusz vagy szi-függvény egy valós analitikus függvény. A kardinális szinusz elnevezés Philip M. Woodwardtól származik 1953-ból.[1][2][3] A szakirodalomban az elnevezések nem egységesek, különösen angol nyelvű könyvekben sinc néven hivatkoznak mind a normált, mind a nem normált sinc függvényre. A német szakirodalom megkülönbözteti a kettőt, a nem normált:[4]

A nem normált (pirossal) és a normált (kékkel) kardinális szinusz

és a normált:

Mindkét esetben a 0 helyen a függvény értékét 1-nek definiáljuk (megszüntethető szingularitás megszüntetése).

Különféle alkalmazásokban, mint az információelméletben, a digitális jelfeldolgozásban, inkább a normált sinc függvényt használják.

TulajdonságaiSzerkesztés

 
A si függvény szélsőértékei ott vannak, ahol a függvény értéke megegyezik a koszinusszal. si (x) = sin (x) / x pirossal, cos (x) kékkel

A sinc függvénynek megszüntethető szingularitása van a 0 helyen, ahol határértéke   illetve  . Ez belátható a L’Hospital-szabály alkalmazásával. Ezt figyelembe véve néha a definícióba is befoglalják a szingularitás megszüntetését.

Programcsomagok, mint a Matlab a normalizált sinc függvényt tartalmazzák, ami kifejezhető szorzatként és a gamma-függvénnyel is:

 

A  -függvény Taylor-sora levezethető a szinuszfüggvény Taylor-sorából:

 

A   elsőfajú szferikus függvény azonosan megegyezik a  -függvénnyel:

 

A sinc függvények nullhelyei:

  minden   esetén
  minden   esetén

A   függvény pozitív szélsőértékhelyei   jó közelítéssel:

 

ahol páratlan   esetén helyi minimum, páros   esetén helyi maximum van. Az első szélsőértékhelyre a közelítés hibája jóval kisebb, mint 1/100. Mindkét függvény páros (két páratlan függvény hányadosa), a negatív szélsőértékhelyek a pozitívok tükörképei. A függvényeknek abszolút maximumuk van az x = 0 helyen.

si(x) = sin(x)/x maximum- és minimumhelyei
Maximumhely Minimumhely
0
≈ 4,4934095 ≈ 1½π − 0,219284
≈ 7,7252518 ≈ 2½π − 0,12873
≈ 10,904122 ≈ 3½π − 0,091452
≈ 14,066194 ≈ 4½π − 0,070973
≈ 17,220755 ≈ 5½π − 0,057989
≈ 20,371303 ≈ 6½π − 0,049049
≈ 23,519452 ≈ 7½π − 0,042493
≈ 26,666054 ≈ 8½π − 0,042998
≈ 29,811599 ≈ 9½π − 0,033531
≈ 32,956389 ≈ 10½π − 0,030334
≈ 36,100622 ≈ 11½π − 0,0276935
≈ 39,244432 ≈ 12½π − 0,025476
≈ (2n−½)·π − ((2n−½)·π)−1
≈ (2n+½)·π − ((2n+½)·π)−1
Az   függvény  -edik deriváltja

minden   esetén analitikusan meghatározható:

 

Innen az első két derivált:

 
 

A teljes görbe alatti terület

 

illetve

 .

A sinc-függvény a négyszögfüggvény Fourier-transzformáltja:

 

mivel

   .

További hasznos tulajdonság, hogy a normalizált függvény zérushelyei egészek.

A normalizált függvény a négyszögfüggvény Fourier-transzformáltja arányosítás nélkül. Ez a függvény alapvető jelentőségű a folytonos sávhatárolt jelek visszaállításnál, egyenletes eloszlású mintavétel mellett.

A két definíció között csak az a különbség, hogy a független változó egy π-szeres szorzóban különbözik. A sinc-függvény mindenhol analitikus.

A Fourier-transzformáció tulajdonságaiból következik, hogy a sinc-függvény analitikus, így tetszőlegesen sokszor differenciálható. A Fourier-transzformáció miatt következik a Plancherel-identitás, emiatt ortogonális a   egész számszorosaival vett eltoltaira, teljesül, hogy

   ,

ahol   a Kronecker-delta.

Megfelelő normálással az eltoltak ortonormált bázist alkotnak az   térben. A sinc(x−kπ) által kifeszített altérre vett projekció

   .

Az interpolációs tulajdonság miatt

  

tehát

   .

Ebben az altérben a függvényeket egyértelműen meghatározzák az   helyeken felvett értékeik.

A négyszögfüggvény tartója korlátos, tehát eltoltjainak lineáris kombinációi is sávkorlátozottak. Megfordítva, minden sávkorlátozott függvény előáll ilyen lineáris kombinációként, emiatt a nevezett helyeken felvett értékeik egyértelműen meghatározzák őket. Ez Nyquist-Shannon mintavételezési tétele.

AlkalmazásokSzerkesztés

Digitális jelfeldolgozásSzerkesztés

A sinc-függvény fő alkalmazása a digitális jelfeldolgozás. Megjelenik a mintavételi (vagy kardinális, E. T. Whittaker 1915) sorozatban, amivel egy folytonos, sávkorlátos   jel rekonstruálható a mintavételezett   értékből, illetve egy tetszőleges támaszhelysorozat folytonos jelként folytatható:

 

Ez a legkisebb oszcillációjú interpolációs képlet. Frekvenciaspektruma korlátozott, és legkisebb lehetséges körfrekvenciája  , illetve frekvenciája  . Ha a sávkorlátozottság nem teljesül az   jelre, tehát a kimenő jelnek magas frekvenciájú összetevői is vannak, akkor ez a mintavételezés nem elég sűrű, és a nagyfrekvenciájú összetevők helyett alacsony frekvenciájú összetevők lesznek rekonstruálva. Ez az alias-hatás.

ElhajlásSzerkesztés

Hullámok elhajlásakor a frekvenciák elhajlási mintát alkotnak, ami Fourier-transzformációkkal négyszögszerű nyílásfüggvényként magyarázható. Emiatt a sinc függvényt résfüggvénynek is nevezik. Elhajláskor a szem által közvetített fényerősség a hullám aplitudójának négyzete; innen adódóan  .

Prímszámeloszlás és magfizikaSzerkesztés

A   függvénykifejezés a fizikában a nehéz atommagok sajátállapotainak energiájának pár-korrelációs eloszlását írja le. A matematikában a Riemann-féle zéta-függvény prímszámokhoz asszociált pár-korreláció eloszlását írja le. Mindkét elméletben közös a véletlen mátrixok elmélete, amit először Freeman Dyson fizikus fejtett ki Hugh Montgomery matematikussal folytatott beszélgetésében 1972-ben.

Hasonló függvényekSzerkesztés

A sinc függvény szerkezetéhez hasonló a tanc függvény:

 

amit azonban nem tekintenek kardinális függvénynek.

TörténeteSzerkesztés

A sinc-függvényt Phillip Woodward vezette be 1952-ben, egy publikációjában,[5] melyben azzal indokolta a önálló sinc-függvény bevezetését, hogy az információ elméletben olyan sokszor fordul elő a Fourier-transzformáció, hogy megérdemli ez a függvény, hogy önállóan is szerepeljen a leírásokban.[6][7][8] A ‘sinc’ kifejezés a függvény latin nevének az összevonása: sinus cardinalis.[7]

JegyzetekSzerkesztés

  1. Poynton, Charles A.. Digital video and HDTV. Morgan Kaufmann Publishers, 147. o. (2003). ISBN 1-55860-792-7 
  2. Woodward, Phillip M.. Probability and information theory, with applications to radar. London: Pergamon Press, 29. o. (1953). ISBN 0-89006-103-3. OCLC 488749777 .
  3. Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., eds. (2010), "Numerical methods", NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255, MR2723248
  4. Fernando Puente León, Uwe Kiencke, Holger Jäkel. Signale und Systeme, 5., München: Oldenbourg (2011) 
  5. Woodward, Philip (1953) Probability and Information Theory, with Applications to Radar McGraw-Hill, New York; Pergamon Press, London, ISBN 0-89006-103-3, EAN: 9780890061039
  6. Woodward, P. M.; Davies, I. L. (March 1952). "Information theory and inverse probability in telecommunication". Proceedings of the IEE - Part III: Radio and Communication Engineering 99 (58): 37–44. doi:10.1049/pi-3.1952.0011.
  7. a b Poynton, Charles A. (2003). Digital video and HDTV. Morgan Kaufmann Publishers. p. 147. ISBN 1-55860-792-7.
  8. Woodward, Phillip M. (1953). Probability and information theory, with applications to radar. London: Pergamon Press. p. 29. ISBN 0-89006-103-3. OCLC 488749777.

IrodalomSzerkesztés

  • Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. (hely nélkül): Typotex Kiadó. 2009. 109–113. o. ISBN 978-963-279-026-8  

Kapcsolódó szócikkekSzerkesztés

Külső hivatkozásokSzerkesztés

FordításSzerkesztés

Ez a szócikk részben vagy egészben a Sinc-Funktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.