Skaláris szorzat

A geometriában a sík két, egymással $\theta$ szöget bezáró $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ vektorának skaláris szorzata az $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta \;$ valós szám. Két geometriai vektor skaláris szorzatát tehát úgy kapjuk meg, hogy összeszorozzuk a hosszukat és az általuk közbezárt szög koszinuszát. A skaláris szorzás ezek szerint kétváltozós függvény, amely a vektorpárokat a valós számokra képezi. Bár a vektorok skaláris szorzása számos tekintetben hasonlít a számok szorzására, lényeges különbség az, hogy míg két szám szorzata ismét szám, két vektor skaláris szorzata nem vektor, hanem szám (skalár; innen ered az elnevezés), így szigorúan véve ez a leképezés nem is nevezhető műveletnek. A skaláris szorzatot néha belső szorzatnak is nevezik. Szokásos jelölése: $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$, $\mathbf {a} \mathbf {b}$, $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ vagy $\langle {\mathbf {a} },{\mathbf {b} }\rangle$.

A skaláris szorzatnak fontos közvetlen alkalmazásai vannak a geometriában és a fizikában, igazi jelentőségét azonban az adja, hogy a skalárszorzat-fogalomnak számos általánosítása és absztrakciója van, amelyek révén alkalmazható a koordinátageometriában, a lineáris algebrában, a vektoranalízisben, a funkcionálanalízisben, az ortogonális függvénysorok elméletében, a statisztikában és a számítástechnikában is.

A széleskörű alkalmazhatóság kulcsa az a megfigyelés, hogy ha a két összeszorzandó síkvektor koordinátáival adott: $\mathbf {a} =[a_{1},a_{2}]$ és $\mathbf {b} =[b_{1},b_{2}]$, akkor skaláris szorzatuk épp az

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}$

mennyiség. Ez az összefüggés lehetővé teszi, hogy a skalárszorzat fogalmát tetszőleges n-dimenziós valós vektorterek elemeire is kiterjesszük, és az $\mathbf {a} =[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]$ és $\mathbf {b} =[b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}]$ n-dimenziós vektorok skalárszorzatát az

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$

egyenlőséggel definiáljuk. Ennek révén aztán a lineáris algebrában szokásos absztrakt vektorokkal kapcsolatban is beszélhetünk olyan alapvetően geometriai jellegű fogalmakról, mint a hosszúság, a hajlásszög, az irány, a merőlegesség és a párhuzamosság, valamint a vetület. Ugyanakkor a fordított irányú kapcsolat lehetővé teszi, hogy geometriai feladatokat aritmetikai, algebrai számítások elvégzésére vezessünk vissza, ami a koordinátageometria és a geometria fizikai-műszaki alkalmazásainak az alapja.

Motiváció és történeti háttér

Az ${\vec {F}}$ erővektornak az ${\vec {AB}}$ elmozdulásvektor irányába mutató komponense ${\vec {F}}\cos \theta$, így az ${\vec {F}}$ által végzett munka épp $|{\vec {F}}|\,|{\vec {AB}}|\cos \theta$

Történetileg a skaláris szorzás motivációját a mechanikai munka fizikai fogalma adja. Ismert, hogy ha egy test valamilyen erő hatására a kérdéses erő irányába elmozdul, akkor az erő által végzett munka (a test mozgási energiájának növekedése) az erő és az elmozdulás szorzata. Az erő és az elmozdulás azonban egyaránt vektormennyiségek, és előfordulhat, hogy irányuk nem esik egybe. Ilyenkor az erő által végzett munka továbbra is lineáris függvénye mind az erőnek, mind az elmozdulásnak, de a munka tényleges mértékének kiszámításában csak az erőnek az elmozdulás irányába eső komponense játszik szerepet. Ha $\theta$ jelöli az ${\vec {F}}$ erővektor és az ${\vec {AB}}$ elmozdulásvektor hajlásszögét, akkor ez a komponens épp az erővektor $\cos \theta$-szorosa, így az erő által végzett munka $|{\vec {F}}|\,|{\vec {AB}}|\cos \theta$, ${\vec {F}}$ és ${\vec {AB}}$ skaláris szorzata.

Az analitikus geometriában először Lagrange 1773-as, Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires című művében bukkan fel a skaláris szorzat. A fogalom modern tárgyalása Gibbs 1901-es (tanítványa, Edwin Bidwell Wilson által lejegyzett) Vector Analysis című művében jelenik meg.

Alapvető tulajdonságai

A skalárszorzat definíciójából közvetlenül következnek az alábbi tulajdonságok.

Ha két vektor merőleges egymásra, akkor hajlásszögük koszinusza 0, így skaláris szorzatuk is nulla. Megfordítva, ha két, egymással $\theta$ szöget bezáró (nem nulla hosszúságú) $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ vektor skaláris szorzata nulla, akkor

$\cos \theta ={\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \over |\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |}=0$

és így $\theta =90^{\circ }$. Követve azt a konvenciót, hogy a nullvektor minden vektorra merőleges, a fentieket úgy foglalhatjuk össze, hogy két vektor akkor és csak akkor merőleges, ha a szorzatuk nulla.

A skaláris szorzat szimmetrikus (a műveleteknél megszokott szóhasználattal: kommutatív), mivel $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta =|\mathbf {b} |\,|\mathbf {a} |\cos \theta =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} .\;$

Egy vektor önmagával vett skaláris szorzata a vektor hosszúságának a négyzete: $\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {a} |\cos 0^{\circ }=|\mathbf {a} |^{2}.\;$ Ebből következően $\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} \geq 0$ , és $\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =0$ akkor és csak akkor, ha $\mathbf {a} =\mathbf {0} .$ Az ilyen leképezéseket pozitív definitnek nevezzük.

Bilinearitás

A skalárszorzat bilineáris, azaz mindkét változójában lineáris. Ez azt jelenti, hogy tetszőleges $\lambda$ skalárra és $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$ vektorokra

(B1) $(\lambda \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\lambda (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )$ és

(B2) $(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} =(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )+(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )$.

A szimmetriatulajdoság miatt ezekből már következik, hogy

(B3) $\,\mathbf {a} \cdot \lambda \mathbf {b} =\lambda (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )$ és

(B4) $\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )$.

(B1) közvetlenül következik a definícióból, hiszen $(\lambda \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =|\lambda \mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta =\lambda |\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta =\lambda (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )$)

Általánosítás

Általában bármely vektortér felett értelmezhetünk skalárszorzatot^[forrás?] (belső szorzatot). Általános értelemben egy adott vektortér felett bármely kétváltozós leképezést belső szorzatnak nevezünk, ha a fenti tulajdonságokat teljesíti. Egy vektortér felett akár több különböző belső szorzat is definiálható. Ilyenkor inkább szokásos a $\langle a,b\rangle$ jelölés.

Példák

• Az $\left[a,b\right]$ intervallumon folytonos, $\mathbb {R}$-be képező függvények terén értelmezett belső szorzat:

$\langle f,g\rangle =\int \limits _{a}^{b}f(t)g(t)dt.$

Komplex értékű függvények esetén az integrandus $f(t){\overline {g(t)}}$-ra módosul.

• Bármely lineáris térben értelmezhető egy adott $A$ bázishoz tartozó skalárszorzat a következőképp. Ha $\mathbf {x}$ és $\mathbf {y}$ vektor az $A$ bázisban felírható:

$\mathbf {x} =x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2}\mathbf {a} _{2}+\dots +x_{N}\mathbf {a} _{N}$

$\mathbf {y} =y_{1}\mathbf {a} _{1}+y_{2}\mathbf {a} _{2}+\dots +y_{N}\mathbf {a} _{N}$

akkor az ezen bázis által meghatározott skalárszorzat:

$\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle _{A}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\dots +x_{N}y_{N}$

Geometriai vonatkozások

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\left\vert \mathbf {A} \right\vert \left\vert \mathbf {B} \right\vert \cos \theta$.
$\left\vert \mathbf {A} \right\vert \cos \theta$ az $\mathbf {A}$ vetülete $\mathbf {B}$-re.

Az euklideszi geometriában szoros összefüggés áll fenn a skalárszorzat és a hosszak, valamint a szögek között. Egy $\mathbf {a}$ vektorra $\mathbf {a} \cdot \mathbf {a}$ a hosszának (abszolút értékének) négyzete, és ha $\mathbf {b}$ egy másik vektor, akkor

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta \,$

ahol $\left\vert \mathbf {a} \right\vert$ és $\left\vert \mathbf {b} \right\vert$ jelöli az $\mathbf {a}$ és $\mathbf {b}$ vektor hosszát, $\theta$ pedig az általuk bezárt szög.

Mivel $\left\vert \mathbf {a} \right\vert \cdot \cos \theta$ az $\mathbf {a}$ vektornak $\mathbf {b}$-re való vetülete, a skalárszorzatot geometriailag úgy lehet értelmezni, mint $\mathbf {a}$-nak $\mathbf {b}$ irányába eső komponensének és $\mathbf {b}$-nek a szorzatát.

Mivel $\cos 90^{\circ }$ nullával egyenlő, két egymásra merőleges vektor szorzata mindig nulla. Ha $\mathbf {a}$ és $\mathbf {b}$ vektor hossza egységnyi (vagyis egységvektorok), skalárszorzatuk egyszerűen közbezárt szögük koszinuszát adja.

Így a két vektor közötti szög:

$\theta =\arccos \left({\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}}\right).$

A fenti tulajdonságokat időnként a skalárszorzat definíciójaként is használják, különösen 2 és 3 dimenziós vektorok esetében. Több dimenziós esetben a képletet a szög értelmezéseként lehet használni.

Geometriai vonatkozás bizonyítása

Vegyük $\mathbb {R} ^{n}$ tetszőleges elemét

$\mathbf {v} =v_{1}\mathbf {\hat {e}} _{1}+v_{2}\mathbf {\hat {e}} _{2}+...+v_{n}\mathbf {\hat {e}} _{n}.\,$

A Pitagorasz-tétel egymást követő alkalmazásával $\left\vert \mathbf {v} \right\vert$-re (a hosszra) a következőt kapjuk

$|\mathbf {v} |^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+...+v_{n}^{2}.\,$

De ez ugyanaz, mint a

$\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+...+v_{n}^{2},\,$

ebből arra a következtetésre jutunk, hogy egy $\mathbf {v}$ vektor önmagával vett skaláris szorzata a vektor hosszának a négyzetét adja.

Lemma: $\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =|\mathbf {v} |^{2}$.

Most vegyünk két vektort az origóban: $\mathbf {a}$-t és $\mathbf {b}$-t, melyek $\theta$ szöget zárnak közre. Definiáljunk egy harmadik, $\mathbf {c}$ vektort:

$\mathbf {c} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {a} -\mathbf {b} .\,$

ezzel alkottunk egy háromszöget $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$ és $\mathbf {c}$ oldalakkal. A koszinusztételt felírva:

$|\mathbf {c} |^{2}=|\mathbf {a} |^{2}+|\mathbf {b} |^{2}-2|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \theta \,$

A lemma alapján a hosszak négyzetének helyébe skaláris szorzást helyettesítve kapjuk, hogy

$\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \theta .\,$                   (1)

De mivel $\mathbf {c} \equiv \mathbf {a} -\mathbf {b}$, azt is tudjuk, hogy

$\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} =(\mathbf {a} -\mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} -\mathbf {b} )\,$,

ami a disztributív tulajdonság miatt

$\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ).\,$                     (2)

A két $\mathbf {c} \cdot \mathbf {c}$ egyenletet – (1) és (2) – egyenlővé téve

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \theta .\,$

Kivonunk mindkét oldalról $\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b}$-t és osztunk $-2$-vel. Marad

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \theta .\,$

Q.E.D.

Források

• ↑ Hajós 1979: Hajós, György. Bevezetés a geometriába, 6. kiadás, Budapest: Tankönyvkiadó (1979). ISBN 9631747360 
• ↑ Lang 1971: Lang, Serge. Linear Algebra, 2. kiadás, Reading, Massachusetts: Addison-Wesley (1971). ISBN 0201042118 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Dot product című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

További információk

• Interaktív Java szimuláció két vektor skaláris szorzatának geometriai jelentéséről. Szerző: Wolfgang Bauer
• Egyszerű Flash szimuláció két vektor skalárszorzatának kapcsolatáról a koszinuszos formulával. Szerző: David M. Harrison

Kapcsolódó szócikkek

• Vektoriális szorzat