„Naiv halmazelmélet” változatai közötti eltérés

nincs szerkesztési összefoglaló
Nincs szerkesztési összefoglaló
Magát a <math>{T}</math> tulajdonságot gyakran funkcionális jelölésmódban úgy jelöljük, hogy <math>{T(x)}</math>. Itt az <math>{x}</math> karaktert ''változó''nak nevezzük és azt jelképezi, hogy a <math>{T(x)}</math> kifejezés ''nyitott mondat'', igazságértéke még nem értelmezhető. ''Zárt'' kijelentő mondat – azaz olyan, melynek létezik igaz vagy hamis értéke – csak akkor lesz belőle, ha az <math>{x}</math> változó helyére valamilyen dolog nevét helyettesítjük.
 
A <math>{T(x)}</math> tulajdonság igazságtartományát <math>\{x\mid T(x)\}</math>-szel jelöljük és úgy mondjuk ki, hogy „azon <math>{x}</math>-ek összessége, melyre a <math>{T(x)}</math> tulajdonság igaz”.
:<math>\{x\mid T(x)\}</math>
-szel jelöljük és úgy mondjuk ki, hogy „azon <math>{x}</math>-ek összessége, melyre a <math>{T(x)}</math> tulajdonság igaz”.
 
=== Példa ===
Legyen <math>{T}</math> : „kutya” . Funkcionális jelölésmódban <math>{T(x) :}</math> „<math>{x}</math> kutya”. Ekkor „<math>{x}</math> kutya” még nyitott mondat, zártat úgy képezhetünk belőle, ha az <math>{x}</math> változó helyére például <math>{Buksi}</math>, a kutya vagy <math>{Cirmi}</math>, a macska nevét helyettesítjük. Ekkor <math>{T(Buksi)}</math> egy, a valóságnak megfelelő állapotot leíró, tehát igaz mondat, míg <math>{T(Cirmi)}</math> nem felel meg a valóságnak, így hamis. Végeredményben képezhetjük a kutyák összességét: <math>\{x\mid T(x)\}=\{x\mid x \mbox{ kutya}\}</math>
:<math>\{x\mid T(x)\}=\{x\mid x \mbox{ kutya}\}</math>
 
== Ki nem mondott feltételezések ==
 
Eddigi fejtegetésünk a [[logikai grammatika]] témakörébe tartozik és legfeljebb az „igaznak lenni” minősítés homályos értelmezése felől támadható. Ma már tudjuk, hogy Cantor a fentieken felül kimondatlanul feltételezte a következőket:
# '''A komprehenzivitás elve:''' akármilyen <math>{T(x)}</math> tulajdonság esetén, az <math>{x}</math> változó helyére minden dolog nevét írhatjuk, és összegyűjthetjük az { <math>\{x\mid</math> | <math>T(x)\}</math> } szimbólum alá az összes olyan dolgot mely teljesíti a <math>{T(x)}</math> tulajdonságot.
# '''Az extenzionalitás elve:''' Két összesség akkor és csak akkor egyenlő, ha elemeik megyegyeznek.
 
Cantor a ''menge'', azaz halmaz szót használta a { <math>\{x\mid</math> | <math>T(x)\}</math> } összesség megnevezésére. Ha valamely <math>{a}</math> dolog benne van a { <math>\{x\mid</math> | <math>T(x)\}</math> } halmazban, akkor ezt szimbolikusan így jelöljük: <math>a\in\</math> &isin; { <math>x\mid</math> | <math>T(x)\}</math> }.
 
== Az ellentmondás ==
A [[Russell-paradoxon]] feloldását mások máshogy képzelték.
[[Gottlob Frege]] abban látta az ellentmondás fellépésének okát, hogy az összességekre – úgy tűnik – nem áll a kizárt harmadik elve. Russell maga szükségesnek tartotta szigorúan megkülönböztetni a dologkat, a dolgok összességeitől. A Russell-paradoxon mindazonáltal a következők miatt lép fel. Ellentmondások hátterében gyakran az önmaguk igazságára hivatkozó mondatok állnak. Ez húzódik meg [[a hazug paradoxona]] mögött, a [[Gödel-féle nemteljességi tétele]]kben és ez ad alapot a hatványhalmaz számosságára vonatkozó tétel (a Cantor-tétel) fennállására.
Mivel az <math>\mbox{ }_{x\notin x}</math> kijelentésben összességek is szerepelhetnek és az összességeket egyértelműen meghatározza a definiáló tulajdonságuk, így a <math>\mbox{ }_{x\notin x}</math> kijelentésből könnyen csinálhatunk saját magára hivatkozó mondatot:
 
:<math>{R=\{x\mid x\notin x\}}\,\!</math> azaz