„Naiv halmazelmélet” változatai közötti eltérés

A [[halmazelmélet]] alapjait [[Georg Cantor]] rakta le egy 1874-ben megjelent cikkében, melyben a [[valós számok]] nem [[megszámlálhatóan végtelen]] voltát bizonyította be elsőként. Cantor gondolata az volt, hogy ne csak számok, pontok, egyenesek összességeit tekintsük, hanem ezek összességeinek összességeit, … is. Ekkor összességek végtelen hierarchiáját alkotjuk meg gondolatban, ami érdekes matematikai és filozófiai problémákat vet fel. Az 1874-es cikk eredménye azért megdöbbentő, mert kiderül: ugyan természetes számból és valós számból is végtelen sok van, de mégis valamilyen szempontból a valós számok összessége „magasabbrendűen” (nem megszámlálható módon) végtelen, mint ahogy a természetes számok összessége végtelen, sőt, ahogy számból, úgy végtelenből is végtelen sok van. Cantor ezzel megteremtette a végtelen [[számosság]]ok elméletét. Az összességre a „menge”''Menge'' német szót használta, később más elnevezések is napvilágot láttak; a magyar nyelvben a [[halmaz]] szót használják matematikai szakkifejezésként. Eredményeit [[Richard Dedekind|Dedekind]], [[Gottlob Frege|Frege]] és [[Bertrand Russell|Russell]] is felhasználta. Szerencsétlenségükre Russell munkája során felfedezett egy ellentmondást, mely Cantor alapgondolatából következik (ez a [[Russell-paradoxon]]) és azt levélben meg is küldte Fregenek, aki ezt az érvelést az éppen nyomdába készülő könyvének utószavába be is illesztette. Ezzel 1903-ban napvilágot látott Cantor halmazelméletének ellentmondásossága. Azóta nevezik Cantor elméletét naiv (azaz kezdetleges) halmazelméletnek. (Valójában Cantor (ahogy rajta kívül sokan mások is) is felfedezett egy ellentmondást, ezt [[Cantor-paradoxon]] néven emlegetik.) A halmazelméletet sikerült az axiomatikus módszer segítségével megmenteni és az ismert ellentmondásaitól megszabadítani. A korban a feladatot Russell (a [[típuselmélet]]ben), [[Zermelo]] és [[Fraenkel]] (a [[Zermelo-Fraenkel halmazelmélet]]ben) és az [[intuicionizmus|intuicionisták]] a fajták elméletében oldották meg. Később más axiomatikus halmazelméletek is születtek (például a [[Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet]] és a [[Bourbaki-csoport|Bourbaki]]-halmazelmélet).

Cantor a ''mengeMenge'', azaz halmaz szót használta a { <math>x</math> | <math>T(x)</math> } összesség megnevezésére. Ha valamely <math>{a}</math> dolog benne van a { <math>x</math> | <math>T(x)</math> } halmazban, akkor ezt szimbolikusan így jelöljük: <math>a</math> ∈ { <math>x</math> | <math>T(x)</math> }.