„Fermat-tétel (analízis)” változatai közötti eltérés

 

A [[matematikai analízis]]ben '''Fermat tétele''' szükséges feltételt szab a [[differenciálhatóság|differenciálható]] függvények lokális szélsőértékének létezéséhez. A tétel szerint egyváltozós, differenciálható függvénynek az értelmezési tartomány belső pontjában csak akkor lehet lokális szélsőértéke, ha ott a [[derivált]] nulla.

 

Hasonlóképpen, ha x olyan V-beli, hogy x < u, akkor

:<math>\frac{f(x)-f(u)}{x-u}\leq 0</math>

tehát a határérték és a rendezés tulajdonságai miatt:

:<math>f'(u)=\lim\limits_{x\to u-}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}\leq 0</math>

f'(u) ≥ 0 és f'(u) ≤ 0 miatt pedig:

 

''Megjegyzés.'' A bizonyításból kiderül, hogy a tétel akkor is igaz, ha ''u'' nem feltétlenül belső pontja az értelmezési tartománynak, hanem olyan pontja, mely mind bal oldali, mind jobb oldali torlódási pontja. Természetesen ekkor a derivált definícióját ki kell terjeszteni az ilyen pontokra. Ekkor azonban fontos megjegyezni, hogy például egy intervallum két vépontjára, mint ''u''-ra felírva nem teljesül a Fermat-tétel feltétele (ahogy nem is igaz a tétel sem!).

Az u-beli differenciálhatóság és az átviteli elv miatt a lent szereplő határértékek léteznek és a következő egyenlőtlenségek igazak rájuk:

:<math>f'(u)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f(u+x_{2n+1})-f(u)}{x_{2n+1}}\leq 0\leq\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f(u+x_{2n})-f(u)}{x_{2n}}=f'(u)</math>

 

=== A nemsztenderd analízis eszközeivel ===

így

:<math>c\cong 0</math>

 

== Többdimenziós általánosítás ==

Kétváltozós, valós értékű differenciálható függvény esetén a Fermat-tétel szemléletes jelentése, hogy a szélsőértékekhez rajzolt érintősík „vízszintes”.

 

:<math>\frac{\partial f(u)}{\partial x}=0</math> és <math>\frac{\partial f(u)}{\partial y}=0</math>

(mindez a szükséges változtatásokkal '''R'''^m-ben is igaz).