„Fermat-tétel (analízis)” változatai közötti eltérés

a
clean up, replaced: <sup>2</sup> → ², removed: <big> (9), </big> (9) AWB
a (r2.7.2) (Bot: következő hozzáadása: ta:ஃபெர்மாவின் தேற்றம் (நிலைப் புள்ளிகள்); kozmetikai változtatások)
a (clean up, replaced: <sup>2</sup> → ², removed: <big> (9), </big> (9) AWB)
:''Ez a szócikk [[Pierre de Fermat]] [[derivált]]ra vonatkozó tételéről szól. Fermat [[számelmélet]]i tételeit lásd itt: [[Fermat-tétel]].''
 
A [[matematikai analízis]]ben '''Fermat tétele''' szükséges feltételt szab a [[differenciálhatóság|differenciálható]] függvények lokális szélsőértékének létezéséhez. A tétel szerint egyváltozós, differenciálható függvénynek az értelmezési tartomány belső pontjában csak akkor lehet lokális szélsőértéke, ha ott a [[derivált]] nulla.
 
Hasonlóképpen, ha x olyan V-beli, hogy x < u, akkor
:<math>f(x)-f(u)\leq 0\,</math>,
:<math>\frac{f(x)-f(u)}{x-u}\leq 0</math>
tehát a határérték és a rendezés tulajdonságai miatt:
:<math>f'(u)=\lim\limits_{x\to u-}\frac{f(x)-f(u)}{x-u}\leq 0</math>
f'(u) ≥ 0 és f'(u) ≤ 0 miatt pedig:
:<math>f'(u)=0\,</math>. <big><big><big>[[Quod erat demonstrandum|■]]</big></big></big>
 
''Megjegyzés.'' A bizonyításból kiderül, hogy a tétel akkor is igaz, ha ''u'' nem feltétlenül belső pontja az értelmezési tartománynak, hanem olyan pontja, mely mind bal oldali, mind jobb oldali torlódási pontja. Természetesen ekkor a derivált definícióját ki kell terjeszteni az ilyen pontokra. Ekkor azonban fontos megjegyezni, hogy például egy intervallum két vépontjára, mint ''u''-ra felírva nem teljesül a Fermat-tétel feltétele (ahogy nem is igaz a tétel sem!).
Az u-beli differenciálhatóság és az átviteli elv miatt a lent szereplő határértékek léteznek és a következő egyenlőtlenségek igazak rájuk:
:<math>f'(u)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f(u+x_{2n+1})-f(u)}{x_{2n+1}}\leq 0\leq\lim\limits_{n\to\infty}\frac{f(u+x_{2n})-f(u)}{x_{2n}}=f'(u)</math>
ahonnan f '(u) = 0 következik.<big><big><big>[[Quod erat demonstrandum|■]]</big></big></big>
 
=== A nemsztenderd analízis eszközeivel ===
így
:<math>c\cong 0</math>
, amiből – tekintve, hogy c sztenderd szám – a kívánt f '(u) = c = 0 egyenlőség következik. <big><big><big>[[Quod erat demonstrandum|■]]</big></big></big>
 
== Többdimenziós általánosítás ==
Kétváltozós, valós értékű differenciálható függvény esetén a Fermat-tétel szemléletes jelentése, hogy a szélsőértékekhez rajzolt érintősík „vízszintes”.
 
Ha f valós értékű, az U ⊆ '''R'''<sup>2</sup>² nyílt halmazon értelmezett [[teljes differenciál|differenciálható]] függvény, és az ''U'' halmaz egy ''u'' pontjában minimuma vagy maximuma van, akkor df(u)=0 illetve a [[parciális derivált]]akra:
:<math>\frac{\partial f(u)}{\partial x}=0</math> és <math>\frac{\partial f(u)}{\partial y}=0</math>
(mindez a szükséges változtatásokkal '''R'''<sup>m</sup>-ben is igaz).
282 344

szerkesztés