„Halmazrendszer” változatai közötti eltérés

<br />

<center><code><big><big>(U_i)_i∈I</big></big></code>.</center>

Az f(i)∈''P''(''U'') halmazt a rendszer <code>i</code> indexhez tartozó '''taghalmazának''' (röviden i-edik '''tagnak''' vagy i-edik taghalmaznak) mondjuk, és leggyakrabban az <code>U_i</code> bal alsó indexes alakban írjuk. Tehát minden i∈I-re <code>U_i⊆''U''</code>. Helytelen egy kissé, de általában nem okoz félreértést az <code><big>''R''</big> := <big>(U_i)_i∈I</big></code> rendszer egy <code> U_i</code> tagja esetén az <code>U_i∈<big>(U_i)_i∈I</big></code>, azaz az <code>U_i∈<big>''R''</big></code> jelölés használata.

Bár a szakirodalomban a „rendezett” halmazrendszerekre az „indexelt halmazrendszer” kifejezést is szokás alkalmazni - kifejezetten a halmazcsaládok megkülönböztetése miatt - az elnevezés némileg félreérthető; ugyanis halmazcsaládot is lehet indexes alakba írni (ilyenkor a kerek zárójel helyett kapcsosat írunk: <big>{A_i}_i∈I)</big>. Az indexelt halmazcsaládok eo ipso halmazrendszerek (a definíció miatt), a kapcsos zárójel használata csak azt hangsúlyozza, hogy külön kikötjük a tagok ismételhetetlenségét (azaz az f:I→''U'' indexelő függvény [[injektív függvény|injektivitását]]).

Legyen <big>''A''</big> := (A_i)_i∈I és ''<big>B</big>'' := (B_j)_j∈J két, az I ill. J indexhalmazok feletti halmazrendszer. Ekkor őket '''izomorfnak''' nevezzük, ha van az ∪''(<big>A</big>)'' és a ∪''(<big>B</big>)'' halmazok közt olyan φ:∪''(<big>A</big>)''→∪''(<big>B</big>)'' [[bijekció]], melyre igaz, hogy tetszőleges a,α∈∪''(<big>A</big>)''-ra és i∈I-re akkor és csak akkor igaz a,α∈A_i, ha φ(a),φ(α)∈∪''(<big>B</big>)''-hez is található olyan j∈J index, hogy φ(a),φ(α)∈B_j. Tehát ha van olyan bijekció, hogy az egy taghalmazba tartozó elemek képei is egy taghalmazba tartozzanak.

Másképp szólva (de ugyanazt mondva), az <big>''A''</big> := (A_i)_i∈I és ''<big>B</big>'' := (B_j)_j∈J két, az I ill. J indexhalmazok feletti halmazrendszert izomorfnak nevezzük, ha van olyan φ:∪''(<big>A</big>)''→∪''(<big>B</big>)'' bijektív leképezés, hogy minden i∈I-re φ[A_i] := {b∈B | ∃a∈A_i : φ(a)=b} = B_j legyen; és hasonló teljesül tetszőleges j∈J esetén is. Röviden szólva, ha van olyan bijekció a rendszerek unióhalmazai közt, hogy az ''A'' rendszer tetszőleges indexelt taghalmazának e függvény szerinti „képe” (relációmetszete) a B rendszer egy taghalmaza legyen, és viszont: a B rendszer egy taghalmazának e függvény szerinti képe az A egy taghalmaza legyen.