„Bode-diagram” változatai közötti eltérés

A '''Bode-diagram''' a rendszerelmélet, irányítástechnika, jelfeldolgozás és hálózatszámítás területén elterjedten használt grafikon, mely egy egy bemenetű, egy kimenetű rendszer [[átviteli karakterisztika|átviteli karakterisztikájának]] ábrázolására szolgál. A diagram részét alkotó két részdiagram az átviteli karakterisztika [[amplitúdó]]ját illetve [[fázis]]át ábrázolja a frekvencia függvényében.

 

A diagram nagy előnye más módszerekkel (például [[Nyquist-diagram]]) szemben, hogy a frekvenciát és az amplitúdót [[logaritmus|logaritmikus]] skálán ábrázolja, így nagy átfogást biztosít. Ez egyben lehetővé teszi, hogy a valós rendszerekben gyakran előforduló, [[racionális törtfüggvény]] alakú átviteli karakterisztikák esetén kézzel is viszonylag könnyű közelítő diagramokat rajzolni. A diagram névadója, [[Hendrik Wade Bode]] amerikai mérnök az [[1930-as évek]]ben alkalmazta először.

 

A Bode-diagramot komplex értékű, egyváltozós függvény, az átviteli karakterisztika ábrázolására használják. Ehhez a [[komplex szám]] [[Komplex számok#Exponenciális alak|exponenciális alakját]] használja fel:

 

 

alakban. Bode az a(ω) és a φ(ω) függvényt ábrázolta két diagramon:

 

:A körfrekvencia-tengely logaritmikus léptékű, de a lineáris egységben megadott körfrekvencia értékeket kell feltüntetni rajta. A tengelyen két körfrekvencia távolságát, melyek közül az egyik a másik 10-szerese, '''dekádnak''' nevezzük, kétszeres frekvenciák távolságát '''oktávnak'''. Az amplitúdóskála szintén logaritmikus léptékű, itt azonban a feltüntetett értékek is logaritmikus egységben, [[decibel]]ben szerepelnek.

:<math>a_{dB}=20\log_{10} a\,</math>

 

 

A Bode-diagramban a két részdiagramot egymás fölött helyezik el úgy, hogy a vízszintes (körfrekvencia) tengely a két diagramon fedésben legyen.

 

[[Fájl:Bode Low-Pass.PNG|bélyegkép|jobbra|350px|Elsőfokú aluláteresztő karakterisztika számított(Δ) és közelítő értéke]]

A közelítő ([[aszimptota|aszimptotikus]], töréspontos) ábrázolás abból a meggondolásból indul ki, hogy egy

alakú, egypólusú rendszer átviteli karakterisztikája az előbb tárgyalténak a [[reciprok]]a. Ezért az amplitúdómenet az előbbi reciproka lesz, vagyis a törésponti frekvencia után -20 dB/dekáddal ''csökkenő'' egyenest kell rajzolni. A fázismenetben a reciprokképzés miatt a fázis a -1-szeresére változik, előjelet vált.<ref name = "Fodor 198">{{opcit|név = Fodor|oldal = 198}}</ref> Megjegyzendő, hogy stabil rendszerekben nem lehet pozitív a pólusfrekvencia,<ref name = "Fodor 306">{{opcit|név = Fodor|oldal = 306}}</ref> ezért stabil rendszereknél <math>\Omega</math> mindig pozitív.

 

Egy nevezőjében másodfokú, számlálójában nulladfokú átviteli karakterisztika általános alakja

 

Másodfokú számlálóval rendelkező átviteli karakterisztika fáziskarakterisztikája valamint amplitúdókarakterisztikája decibelben a fent vázolt karakterisztikák minusz egyszerese.

 

Általános esetben az átviteli karakterisztika

 

A Bode-diagram egyik fő előnyére, a nagy átfogásra itt nincs szükség, mert mintavételezett rendszerekben mivel a mintavételi frekvenciát a számítási igény csökkentése érdekében célszerű minimális szinten tartani, így a rendszerek körfrekvencia-tartománya viszonylag jól kitölti a [0, ω_S] intervallumot, a lineáris felbontás itt megfelelő. Emellett egyszerű felrajzolásának előnye is elveszik ebben a környezetben épp amiatt, mert az átviteli karakterisztika nem <math>j\omega T_S</math> racionális törtfüggvénye. Lineáris körfrekvencia-tengely és logaritmikus amplitúdótengely esetén lenne lehetőség a fentebb vázolt tört vonalas közelítés alkalmazására. Egyéb praktikus megfontolások is ebbe az irányba mutatnak. Egy rendszer analíziséhez gyakran használják a [[Fourier-transzformáció#Diszkrét Fourier-transzformáció|diszkrét Fourier-transzformációt]], aminek a frekvenciabeli felbontása lineáris léptékben állandó, ω_S/N (N a felhasznált minták száma).

 

{{források}}

 

{{cite book|author= Fodor György|title=Hálózatok és rendszerek|autor=Fodor György|publisher=Műegyetem Kiadó|year=2004|city=Budapest|isbn=963 420 810 X}}

[[Kategória:Elektronika]]

[[Kategória:Szabályozáselmélet]]

[[es:Diagrama de Bode]]

[[eu:Boderen diagrama]]

[[fi:Bode-diagrammi]]

[[fr:Diagramme de Bode]]