„Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet” változatai közötti eltérés

nincs szerkesztési összefoglaló
(→‎Az elmélet kifejtése: Rendszám (halmazelmélet)|)
A "komprehenzív" kifejezés arra utal, hogy az axióma szándékozik "összegyűjteni" mindazon elemeket egy osztályba, melyre a P(x) formula tétel. A "korlátozott" szó pedig arra utal, hogy elemként íly módon csak halmazokat gyűjthetünk össze. Másrészt a "korlátozott" jelző arra is utal, hogy a P(x) formula tartalmazhat konkrét, akár valódi osztályokat is, de a (∀y) jelsor csak úgy szerepelhet benne tetszőleges y változó esetén, ha utána a Set(y) általános feltétel is szerepel benne a kvantor hatókörén belül. Ez a kissé bonyolult feltétel P(x)-re lényeges, mert ezen múlik, hogy '''NBG''' tényleg ekvikonzisztens '''ZFC'''-vel. Létezik a halmazelméletne egy olyan '''NBG''' stílusú felépítése, a [[Morse–Kelley-halmazelmélet]], melyben P(x)-re nincs a fenti megkötés. '''MK''' azonban valódi bővítése '''ZFC'''-nek és valójában a halmazelmélet egy másodrendű kalkulusával egyenértékű. Az axiómát gyakran még elkülönítési axiómának is nevezik.
 
Ebből az axiómából két, kardinális jelentősségű halmaz létezése[[létezés]]e következik. Az első a ''Russell-összesség'', azaz a
:<math>\mathbf{Ru}:=\{x\mid x\notin x\}</math>
osztály, mely az alábbiak szerint valódi osztály. Tegyük fel, hogy '''Ru''' halmaz. Ekkor a komprehenzivitás axiómája szerint minden ''x''-re: ''x'' &isin; '''Ru''' &#8660; (Set(x) &#8743; &#172;(x &isin; x)). Ha most ''x'' helyére '''Ru'''-t helyettesítünk, akkor azt kapjuk, hogy '''Ru''' &isin; '''Ru''' &#8660; (Set('''Ru''') &#8743; &#172;( '''Ru''' &isin; '''Ru''')), amely csak úgy lehet, ha Set('''Ru''') nem teljesül, hiszen ellenkező esetben ellentmondásra jutunk. De azt tettük fel, hogy '''Ru''' halmaz, ami szintén ellentmondás, tehát '''Ru''' nem halmaz, hanem valódi osztály.
:<math>\emptyset:=\{x\mid x\neq x\}</math>
definiálta ''üres osztály''. Azt még nem lehet tudni, hogy ez halmaz-e, sőt azt sem, hogy léteznek-e egyáltalán halmazok, ezért a következő axióma ezt fogja biztosítani.
:'''A<small> [[LÉTEZÉS]] AXIÓMÁJA</small>''' – Létezik halmaz.
 
A később említendő részhalmaz axióma miatt ebből rögtön következik, hogy az üres osztály halmaz, mert az üres osztály minden osztálynak részosztálya. Megjegyezzük, hogy még a komprehenzivitási axióma nélkül sem kell feltennünk, hogy ''létezik'' osztály, hiszen a rendszer minden termje osztályt jelöl, így az osztályok, mint termek nyelvi értelemben léteznek. Gyakran az axiómát úgy fogalmazzák meg, hogy az üres osztály halmaz.
66

szerkesztés