„Tangenstétel” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a Matematikai tételek kategória hozzáadva (a HotCattel) |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
3. sor:
A '''tangenstétel''' egy [[geometria]]i tétel, miszerint egy tetszőleges [[háromszög]] két oldalára és az oldalakkal szemben fekvő [[szög]]ekre igaz a következő összefüggés:
<center><math>\frac{a+b}{a-b} \ = \ \frac{\
== Bizonyítás ==
A [[szinusztétel]] értelmében:
: <math>\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}.</math>
Legyen
: <math>d = \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta},</math>
így
: <math>a = d \sin\alpha \text{ és }b = d \sin\beta. \, </math>
amiből
: <math>\frac{a+b}{a-b} = \frac{d \sin \alpha + d\sin\beta}{d\sin\alpha - d\sin\beta} = \frac{\sin \alpha + \sin\beta}{\sin\alpha - \sin\beta}.</math>
A [[Trigonometrikus azonosságok#Összeget szorzattá alakító_képletek|két szinusz összegére vonatkozó képlet]]
: <math> \sin\alpha \pm \sin\beta = 2 \sin\left( \frac{\alpha \pm \beta}{2} \right) \cos\left( \frac{\alpha \mp \beta}{2} \right) \;</math>
használatával a következő alakot kapjuk:
: <math> \frac{a+b}{a-b} = \frac{2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}}{2 \sin\frac{\alpha - \beta}{2}\cos\frac{\alpha + \beta}{2}} = \ \frac{\mathrm{tg} \frac{\alpha + \beta}{2}}{\mathrm{tg} \frac{\alpha - \beta}{2}} .</math>
Ezzel a tételt bebizonyítottuk.
== Lásd még ==
| |||