|
[[Bertrand Russell]] [[1901]]-ben felfedezte fel, hogy a matematika akkori naívnaiv halmazelméleti és logikai megalapozása a róla elnevezett '''Russell-paradoxon''' ellentmondást is tartalmazza. E paradoxon működési mechanizmusa ekvivalens a két évvel korábbi [[Cantor-paradoxon]] mechanizmusával, de a korábbival ellentétben már azt mutatja, hogy menthetetlenül kijavításra szorul a [[Georg Cantor|Cantor]] és [[Gottlob Frege|Frege]] által megalkotott [[naiv halmazelmélet]] és formalizált logikai.<ref>Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. 136. old. Typotex Kiadó, 2009. ISBN 978-963-279-026-8</ref> A századfordulón jelentkező paradoxonok hatására, mintegy két- három évtized alatt, a mai szemmel megnyugtatónak tekintett alapokra helyezték az egész matematikát. E folyamat elhúzódott, mert a geometria [[David Hilbert|Hilbert]]-féle megalapozása a húszas évekig, és a valószínűségszámítás [[Andrej Nyikolajevics Kolmogorov|Kolmogorov]]-féle megalapozása a harmincas évekig váratott magára.
A '''Russell-paradoxon''' olyan érvelést használ, amelyhez hasonlóak tulajdonképp már több ezer éve ismertek voltak (ld. [[Epimenidész-paradoxon]]). Azt, hogy a paradoxonhoz vezető érvelés a halmazelmélet ill. logika matematikai elméletének ellentmondásosságát okozhatja, többen is felfedezték a tizenkilencedik század végén; például [[Ernst Zermelo]] matematikus és [[Bertrand Russell]] filozófus.
== A Russell-paradoxon naívnaiv halmazelméleti formában ==
Egy <math>S</math> halmazt nevezzünk tartalmazkodónak, ha elemként tartalmazza önmagát, azaz <math>S \in S</math>. Már a naívnaiv halmazelméletben is, az ''elemének lenni'' viszony tetszőleges két halmazra egyértelmű tény. Ezért tetszőleges <math>S</math> halmaz vagy tarartalmazkodó, vagy nem, hiszen <math>S \in S</math> vagy igaz, vagy hamis.
A naívnaiv halmazelmélet, éppen e paradoxon család hatására kijavítandó naívnaiv szemlélete volt, hogy ''halmazok bármilyen elképzelt összessége'' halmazt alkot, amely összeség elképzelését látszólag egyértelműen körvonalazni tudjuk azáltal, hogy tetszőleges <math>S</math> halmazról egyértelműen meg tudjuk mondani, hogy eleme-e az elképzelt összességnek, vagy sem.
Tehát naívannaivan, <math>R</math> legyen az a halmaz, amelynek egy tetszőleges <math>S</math> pontosan akkor eleme, tehát <math>S\in R</math>, ha <math>S</math> '''nem''' tartalmazkodó, azaz <math>S\not\in S</math>,
Formulával: <math>\forall S\;\left({S\in R \Longleftrightarrow S\not\in S}\right)</math>, azaz
|
