„Hatványsor” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Konvergenciasugár |
→Konvergenciasugár: számítás másként; kapcsolat a konvergencia fajtáival |
||
10. sor:
A hatványsort formálisan felírva, absztrakt módon is alkalmazzákpéldául a [[leszámlálás]]okhoz.
==Konvergenciasugár==
Az <math>x_0</math> körüli hatványsor konvergenciasugara az a legnagyobb szám, amit <math>r</math> -rel jelölve a hatványsor minden <math>x</math>-re konvergens, amire <math>|x-x_0|<r</math>.
A konvergenciasugár a Cauchy-Hadamard-képlettel számítható:
16. sor:
:<math> r = \frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}(\sqrt[n]{|a_n|})}.</math>
Sok esetben a hatványsor egyszerűbben is számítható. Ugyanis, ha a hatványsor együtthatói között legfeljebb véges sok nulla van, akkor:
:<math> r = \lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right|, </math>
hogyha a határérték létezik.
A konvergencia fajtái és a konvergenciasugár kapcsolata:
*<math>|x-x_0|<r \Rightarrow</math> esetén a hatványsor abszolút konvergens
*ha <math>|x-x_0|>r \Rightarrow</math>, akkor divergens
*hogyha <math>|x-x_0|>r \Rightarrow</math>, akkor nem lehet semmit sem mondani a konvergeciáról
*ha pedig <math>|x-x_0|\leq r^{\prime}<r</math>, akkor a hatványsor egyenletesen is konvergens minden ''x'' -re, amire <math>|x-x_0|\leq r^{\prime}</math>.
[[Kategória:Analízis]]
| |||