„Hatványsor” változatai közötti eltérés
| [ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
→Műveletek: Szorzás |
→Műveletek: Deriválás és integrálás |
||
48. sor:
ahol <math>\textstyle m_n = \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}</math> az <math>(a_n)</math> és a <math>(b_n)</math> sorozatok [[konvolúció]]ja.
===Deriválás és integrálás===
Egy hatványsor mindig [[differenciálhatóság|differenciálható]] konvergenciakörének belsejében, és [[derivált]]ja tagonkénti differenciálással adódik:
:<math>
f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-x_0 \right)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) \left( x-x_0 \right)^{n}
</math>
A hatványsor akárhányszor differenciálható, ezért az előbbi számolási módszer többszöri alkalmazásával
:<math>
f^{(k)} (x) = \sum_{n=k}^\infty \frac{n!}{(n-k)!} a_n (x-x_0)^{n-k}
= \sum_{n=0}^\infty \frac{(n+k)!}{n!} a_{n+k} (x-x_0)^n
</math>
Hasonlóan számítható a [[primitív függvény]]:
:<math>
\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-x_0 \right)^{n+1}} {n+1} + C = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-x_0 \right)^{n}} {n} + C
</math>
Mindezek a hatványsorok ugyanott konvergensek, mint az eredeti.
[[Kategória:Analízis]]
| |||