„Affin kombináció” változatai közötti eltérés

[nem ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a Egyértelmusítése a következore mutató linknek: Test
Cherybot (vitalap | szerkesztései)
a Robot: Kiskötőjel cseréje gondolatjelre
70. sor:
Valójában hasonló gondolatmenettel lehet belátni az analóg állítást tetszőleges <math> n \in \mathbb{N}</math> véges n-dimenziós <math> \mathbb{E}^{n} </math> euklideszi térre.
 
Legyenek adva az <math> A_{1}, A_{2}, ... , A_{n+1} </math> pontok, melyekhez valamelyiket kezdőpontul választva - legyen <math> A_{k} </math>, ahol <math> k \in \mathbb{N} </math> és <math> 1 \le k \le n+1 </math> - az <math> \underline{a} _{1} = \vec{A_{k}\!A_{1}}, \underline{a} _{2} = \vec{A_{k}\!A_{2}}, ... , \underline{a} _{n} = \vec{A_{k}\!A_{n}}, \underline{a} _{n+1} = \vec{A_{k}\!A_{n+1}} </math> helyvektorok tartoznak. Ez n+1 db. vektor lesz, de mivel az egyik épp a <math> \underline{0} = \underline{a}_{k} = \vec{A_{k}\!A_{k}} </math> nullvektor, valójában olyan, mintha csak n vektorunk volna (ez csak egy bizonyítástechnikai probléma, a következők érvényességét nem befolyásolja).
 
Tegyük fel, hogy e pontok - értsd: a megfelelő vektorok, az előbb említett nullvektort beleértve - [[lineáris függetlenség|lineárisan függetlenek]], azaz az általuk meghatározott (generált) altér pontosan n-dimenziós, vagyis épp <math> \mathbb{E}^{n} </math> (ugyanis n-dimenziós térnek nincs valódi n-dimenziós altere, csak önmaga). Tehát minden <math> P \in \mathbb{E}^{n} </math> pont előáll az adott vektorok lineáris kombinációjaként, mégpedig egyértelműen (s ezen az sem változtat, ha egy <math> \underline{a}_{k} = \underline {0} </math>nullvektort is hozzáírunk a lenti összeghez, <math> \alpha_{k}=0 </math> nulla együtthatóval, hogy az együtthatók összege se változzon): <br>
 
<center><math> \vec{A_{k} \! P} = \sum_{i=1}^{n+1} {\alpha_{i} \vec{A_{k} \! A_{i}} = } \alpha_{1} \vec{A_{k} \! A_{1}} + \alpha_{2} \vec{A_{k} \! A_{2}} + ... +\alpha_{n} \vec{A_{k} \! A_{n}} + \alpha_{n+1} \vec{A_{k} \! A_{n+1}} </math> </center><br>