„Formális hatványsor” változatai közötti eltérés

definíció rendbetétele
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
(Forrás)
(definíció rendbetétele)
{{nincs forrás}}
Ha egy adott [[gyűrű (algebra)|gyűrű]] feletti végtelen sorozatokon ahhoz hasonlóan értelmezünk két, összeadásnak és szorzásnak nevezett műveletet, ahogyan azt a végeredményben véges sorozatokként definiálható [[polinom]]ok esetében tennénk, akkor jutunk az általánosabb '''formális hatványsor''' fogalmához. A definíció a következő:
==Definíció==
A formális hatványsorok éppen úgy végtelen összegek, mint a nem formálisak. A műveleteket is ugyanúgy végezzük rajtuk, mint a valódi [[hatványsor]]okon. A [[konvergencia|konvergenciával]] azonban nem foglalkozunk.
 
Összeadás:
:<math>f(x)+g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n + b_n) (x-x_0)^n,</math>
:ahol ''a''<sub>n</sub> és ''b''<sub>n</sub> gyűrűelem.
 
Skalárral szorzás:
:<math>cf(x) = \sum_{n=0}^\infty (c a_n) (x-x_0)^n ,</math>
:ahol ''c'' gyűrűelem.
 
Szorzás:
:<math>\begin{align}
f(x)g(x) &= \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n\right)\\
&= \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (x-x_0)^{i+j}
= \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-x_0)^n
\end{align}</math>
:ahol minden együttható gyűrűelem
==Ekvivalens definíció==
 
Legyen <math> R = \left( U, +, \times \right) </math> tetszőleges [[gyűrű (algebra)|gyűrű]], és tekintsük az <math> R </math> feletti <math> R_{\mathbb{N}} = \left\{ \left( r_{n} \right) ^{n \in \mathbb{N}} \ | \ r \in R \right\} </math> végtelen <math> \left( r_{n} \right) _{n \in \mathbb{N}} = \left( r_{0} , r_{1} , r_{2} , r_{3} , .... \right) </math> sorozatok halmazát (megjegyzés, <math> K^{D} </math> -vel a D halmazból a K halmazba képező függvények halmazát jelöljük általában is).
* <math> \oplus : R^{\mathbb{N}} \times R^{\mathbb{N}} \mapsto R^{\mathbb{N}} ; (r_{i})_{i \in \mathbb{N}} \oplus (s_{i})_{i \in \mathbb{N}} = (r_{i}+s_{i})_{i \in \mathbb{N}} </math> ; ez tehát egyszerűen két végtelen hosszú vektor koordinátánkénti összegzése (+ az R gyűrűbeli összeadás);
* A szorzás azonban nem koordinátánkénti szorzás, hanem: <math> \otimes : R^{\mathbb{N}} \times R^{\mathbb{N}} \mapsto R^{\mathbb{N}} ; (r_{i})_{i \in \mathbb{N}} \otimes (s_{i})_{i \in \mathbb{N}} = ( \sum_{j=0}^{i} r_{j}s_{i-j} )_{i \in \mathbb{N}} </math> .
 
Belátható, hogy ezek a műveletek éppen a fenti műveletzeknek felelnek meg.
 
A <math> K[[x]] := \left( R^{\mathbb{N}} , \oplus , \otimes \right) </math> algebrai struktúra szintén gyűrű. Ezt nevezzük az <math> R </math> feletti '''formális hatványsor'''ok gyűrűjének.