„Formális hatványsor” változatai közötti eltérés

Tulajdonságok a Hatványsorokból
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
(definíció rendbetétele)
(Tulajdonságok a Hatványsorokból)
A <math> K[[x]] := \left( R^{\mathbb{N}} , \oplus , \otimes \right) </math> algebrai struktúra szintén gyűrű. Ezt nevezzük az <math> R </math> feletti '''formális hatványsor'''ok gyűrűjének.
 
== PolinomPolinomok ==
 
Ha egy <math> \left( s_{i} \right) \in R^{\mathbb{N}} </math> sorozatnak van olyan indexe (ti. olyan indexű tagja), melytől kezdve nulla (az összes nála nagyobb indexú tagja nulla), akkor az ilyen indexet (gyenge v. tágabb értelemben vett) ''eltűnési index''nek nevezünk. A sorozat eltűnési indexeinek halmazát <math> E \left( \left( s_{i} \right) \right) = \left\{ j \in \mathbb{N} \ | \forall k \in \mathbb{N} : j \le k \Rightarrow s_{k} =0 \right\} \subseteq \mathbb{N} </math> -vel jelöljük (definiálható a szigorú eltűnési index is, ha ≤ helyett <code><</code>-t írunk a definícióban). Nincs minden sorozatnak eltűnési indexe; azaz e halmaz üres is lehet bizonyos sorozatokra; ha azonban nem üres, akkor a sorozatot '''polinom'''nak nevezzük.
 
Pontosan egyetlen olyan sorozat van, melynek minden indexe eltűnési index, mégpedig az a sorozat, melynek minden tagja 0. E sorozat a '''nullpolinom'''.
A [[formális hatványsor]]okat is végtelen összegként definiálják, de nem törődnek a konvergenciával, ami amúgy sem biztos, hogy értelmezve van, például [[véges test]]ek fölött.
==Tulajdonságok==
*A véges testek fölötti egy határozatlanú formális hatványsorok [[gyűrű (matematika)|gyűrű]]t alkotnak, aminek részgyűrűje a polinomgyűrű
*Gyűrű feletti [[polinomgyűrű]], és az ugyanazon gyűrű fölött vett formális hatványsorok gyűrűje egyszerre [[kommutatív]], [[egységelem]]es vagy [[nullosztómentes]], ha az alapgyűrű is az
*Ha '''s''' egy egységelemes gyűrű fölötti hatványsor, és <math>k \in \N _0</math>, akkor <math>(x^k\mathbf s)_i=0</math>, ha ''i'' > k, és <math>(x^k\mathbf s)_i= \mathbf s_{i-k}</math>, ha <math>k \leq i \in \N _0</math>
*Az egy határozatlanú formális hatványsorok gyűrűje egyben [[modulus]] is az alapgyűrű fölött. Ez a modulus pontosan akkor [[unitér modulus|unitér]], ha az alapgyűrű egységelemes. Pontosan akkor [[vektortér]], ha az alapgyűrű ferdetest, és pontosan akkor [[algebra]], ha az alapgyűrű test. Ekkor rangja végtelen. Hasonlóak érvényesek a polinomgyűrűre is
*Hatványsor akkor és csak akkor egység, ha konstans tagja egység az alapgyűrűben. Speciálisan, [[ferdetest]] feletti formális hatványsor pontosan akkor egység, ha konstans tagja nem nulla
*Hatványsor akkor és csak akkor [[felbonthatatlan]], ha konstans tagja az alapgyűrűben felbonthatatlan
*Ha az alapgyűrű [[test]], akkor a formális hatványsorok gyűrűje euklideszi
*Test feletti hatványsorok gyűrűjének elemei <math>x^u \mathbf s</math> alakúak, ahol ''u'' egész. Ez a test az alaptest fölötti [[Laurent-sor]]ok testje
==Forrás==
Gonda János: Véges testek [compalg.inf.elte.hu/material/DOWNLOAD/vt.pdf]